|
Найдите отношение площади полной поверхности прямого кругового конуса, вписанного в шар, к площади поверхности этого шара, если известно, что угол при вершине осевого сечения конуса равен $%\alpha$% и $%\alpha > \frac{ \pi }{2}$%. задан 16 Сен '14 18:42 
Анн |
|
Пусть $%R$% -- радиус шара, $%r$% -- радиус основания конуса, $%L$% -- длина образующей конуса. Тогда площадь полной поверхности равна $%\pi r(r+L)$%, а площадь поверхности шара равна $%4\pi R^2$%. Рассмотрим осевое сечение $%SAB$%, где $%S$% -- вершина конуса. Проведём диаметр $%SC$%. Треугольник $%SAC$% -- прямоугольный; острый угол при вершине $%S$% равен $%\alpha/2$%. Тогда $%L=SA=2R\cos\frac{\alpha}2$%. Обозначим через $%D$% точку пересечения $%AB$% и $%SC$%. Тогда $%r=AD=L\sin\frac{\alpha}2=R\sin\alpha$%. В отношении площадей сократятся множители $%\pi$% и $%R^2$%. Останется $%\frac12\sin\alpha\cos\frac{\alpha}2(1+\sin\frac{\alpha}2)$%. отвечен 16 Сен '14 19:48 
falcao |