|
Здравствуйте.
Есть такое уравнение $%z^3-3xyz=8$%. По условию нужно найти $%dz/dx$% и $%dz/dy$% для неявно заданной функции $%z^3-3xyz=8$%. задан 17 Сен '14 1:56 
mishamusha
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
В комментариях уже места не осталось, хотя я кое-что там удалил. Приходится здесь писать. Как было выяснено, $%\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{yz}{z^2-xy}$%. Частную производную по $%y$% можно, конечно, найти тем же способом. Но функция симметрична относительно замены $%x\leftrightarrow y$%, поэтому проще всего в окончательной формуле сделать такую замену, поменяв местами $%x$% и $%y$%. Тогда сразу получится $%\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{xz}{z^2-xy}$%, то есть вычислять тут нечего. Выше у меня об этом было сказано. отвечен 19 Сен '14 2:53 
falcao |
У Вас получилось уравнение, из которого частную производную $%\dfrac{\partial z}{\partial x}$% можно выразить через $%x$%, $%y$% и $%z$%. Эти величины считаются как бы "известными", а производные через них выражаются.
Возьмите то уравнение, которое у Вас написано. Мысленно обозначьте частную производную, которую надо выразить, одним символом типа W. Далее считайте, что значения $%x$%, $%y$%, $%z$% Вам каким-то образом известны -- это как бы не переменные, а заданные константы. Тогда уравнение (его полезно сразу сократить на 3) имеет вид $%AW-B-CW=0$%, что A, B, C -- как бы константы, а W надо найти. Ясно тогда, что $%W=B/(A-C)$%.
Нет, не правильно. Во-первых, тройки сократятся сразу, и их не будет. Во-вторых, у меня написана формула, согласно которой "средний" член без минуса надо разделить на разность коэффициентов при частной производной. Вы вместо этого сделали что-то другое. Это же линейное уравнение типа 7W-13-4W=0. Всё, что осталось сделать, это увидеть в уравнении такую структуру.
К слову сказать, "тупость" в таких вопросах как раз помогает, а не мешает: надо именно что "тупо" проделать простые арифметические преобразования по правилам, не придумывая ничего от себя. Творческое начало полезно лишь в искусстве.
Хорошо, допустим, вышло $%zy/z^2-xy$%. Теперь как найти $%dz/dy$%, как он будет выглядеть в моём примере?
Да, конечно. Только выражение в знаменателе должно быть окружено скобками. Представьте себе, что Вы машине это написали. Что она сделает? Разделит $%zy$% на $%z^2$%, а потом вычтет из этого всего $%xy$%.
Другая производная находится точно так же. Вы ведь поняли сам метод? Более того, здесь даже отдельно её считать не надо, потому что исходная функция симметрична относительно $%x, y$%. Это значит, что во всех равенствах можно "иксы" заменить "игреками", а "игреки" -- "иксами".
Что, так и писать $%3z^2*dz/dy-3xz-3yx * dz/dy$% ?