целые-числа - На каком расстоянии лежат друг от друга "целые точки" на каждой прямой?

В теории чисел доказывается, что такое уравнение всегда имеет хотя бы одно целочисленное решение. Пусть это пара $%(x_0;y_0)$%. Рассмотрим произвольное решение $%(x;y)$%. Тогда $%ay-bx=c=ay_0-bx_0$%, откуда следует, что $%a(y-y_0)=b(x-x_0)$%. Получается, что правая часть кратна $%a$%. Поскольку $%b$% взаимно просто с $%a$%, этот множитель не влияет на делимость, откуда вытекает, что $%x-x_0$% кратно $%a$%, то есть $%x-x_0=ka$%, где $%k$% целое. Подставим это выражение в предыдущее уравнение, сокращая на $%a$%. Это даст $%y-y_0=kb$%. Таким образом, общее решение описывается в виде $%(x;y)=(x_0;y_0)+k(a;b)$%. Соседние точки с целыми координатами отличаются друг от друга на $%a$% по горизонтали и на $%b$% по вертикали. Расстояние между ними равно $%\sqrt{a^2+b^2}$% по теореме Пифагора.