|
Как доказать, что последовательность $${\frac{1}{2^\sqrt1},\frac{1}{2^\sqrt2},\frac{1}{2^\sqrt3},... \frac{1}{2^\sqrt{n}}}$$ сходится. задан 25 Дек '11 15:12 
Lili |
|
Попробуйте заменить все члены части ряда от $%1/2^{\sqrt{(n-1)^2}}$% до $%1/2^{\sqrt{n^2}}$% на $%(2n-1)/2^{n-1}$%, ряд от этого только увеличится. Дальше, вроде, просто. Если непонятно, что делать дальше - напишите. отвечен 25 Дек '11 15:45 
freopen Вы всегда так хорошо отвечаете. Но я такая глупая, понимаю,что хорошо бы ограничить сверху сходящимся рядом,но как ограничить только часть не доходит. пожалуйста, напишите подробнее.Спасибо!
(25 Дек '11 18:47)
Lili
1
Мы не ограничиваем часть. Мы просто каждый член заменяем на ближайший слева к нему член, у которого индекс - полный квадрат. Т.к. последовательность убывающая, мы заменили элемент на тот, который левее, значит, он больше, значит, последовательность больше. А всего элементов между двумя квадратами ровно 2n-1.
(26 Дек '11 0:27)
freopen
Извините, а если заменить каждый член на 1/2, это будет не правильно? Насколько я понимаю, постоянная последовательность- сходится?
(26 Дек '11 8:05)
Lili
Да, еще вот нашла теорему,что любая монотонная ограниченная последовательность сходится. Это вроде наш случай? Спасибо!
(26 Дек '11 8:07)
Lili
Извините, я не спорю,я советуюсь. Спасибо!
(26 Дек '11 9:29)
Lili
Так вам последовательность или ряд нужен? Разница в том, что ряд - это $%\sum_{n=1}^\infty a_n$%. Для последовательности действительно все просто. А для ряда приходится делать более аккуратную замену,
(26 Дек '11 9:41)
freopen
Извините, для последовательности всё нормально- сдала. Теперь надо доказать сходимость именно ряда. Про замену я всё поняла, что делать дальше? Можно поподробнее? Спасибо огромное!!!!
(6 Янв '12 13:04)
Lili
Разбейте его на бесконечное количество рядов вида $$\sum_{n=k}^\infty 2^{-n}=2^{-k+1}$$
(6 Янв '12 13:45)
freopen
Извините, мы ряды вообще еще не проходили. Учат нас самим разбираться. Теперь я вообще ничего не понимаю... Можно еще подробнее??? Тысячу извинений за мою тупость.
(6 Янв '12 16:19)
Lili
1
Ну у нас есть 2n+1 членов вида $%2^{-n}$%. Мы их перегруппируем. Возьмем по одному элементу вида 2^{-n}, n=1,2,... и получим первый ряд. Возьмем по одному элементу вида 2^{-n}, n=2,3,... и получим еще два ряда и т.д. Получаем $$1+2\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k+1}^{\infty}2^{-n}=$$ $$=1+2\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=1+2=3$$
(6 Янв '12 21:57)
freopen
Спасибо!Огромное!
(7 Янв '12 12:01)
Lili
показано 5 из 11
показать еще 6
|
Замените слово "последовательность" в задаче на слово "ряд", а то неинтересно :)
Знала бы я как...
Значит всё же надо оставить последовательность. Я записала задание точно.Теперь понимаю, почему неинтересно. Спасибо Вам огромное!!!