Как доказать, что последовательность

$${\frac{1}{2^\sqrt1},\frac{1}{2^\sqrt2},\frac{1}{2^\sqrt3},... \frac{1}{2^\sqrt{n}}}$$

сходится.

задан 25 Дек '11 15:12

изменен 25 Дек '11 15:34

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

Замените слово "последовательность" в задаче на слово "ряд", а то неинтересно :)

(25 Дек '11 15:35) freopen

Знала бы я как...

(25 Дек '11 18:57) Lili

Значит всё же надо оставить последовательность. Я записала задание точно.Теперь понимаю, почему неинтересно. Спасибо Вам огромное!!!

(27 Дек '11 7:57) Lili
10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробуйте заменить все члены части ряда от $%1/2^{\sqrt{(n-1)^2}}$% до $%1/2^{\sqrt{n^2}}$% на $%(2n-1)/2^{n-1}$%, ряд от этого только увеличится. Дальше, вроде, просто. Если непонятно, что делать дальше - напишите.

ссылка

отвечен 25 Дек '11 15:45

Вы всегда так хорошо отвечаете. Но я такая глупая, понимаю,что хорошо бы ограничить сверху сходящимся рядом,но как ограничить только часть не доходит. пожалуйста, напишите подробнее.Спасибо!

(25 Дек '11 18:47) Lili
1

Мы не ограничиваем часть. Мы просто каждый член заменяем на ближайший слева к нему член, у которого индекс - полный квадрат. Т.к. последовательность убывающая, мы заменили элемент на тот, который левее, значит, он больше, значит, последовательность больше. А всего элементов между двумя квадратами ровно 2n-1.

(26 Дек '11 0:27) freopen

Извините, а если заменить каждый член на 1/2, это будет не правильно? Насколько я понимаю, постоянная последовательность- сходится?

(26 Дек '11 8:05) Lili

Да, еще вот нашла теорему,что любая монотонная ограниченная последовательность сходится. Это вроде наш случай? Спасибо!

(26 Дек '11 8:07) Lili

Извините, я не спорю,я советуюсь. Спасибо!

(26 Дек '11 9:29) Lili

Так вам последовательность или ряд нужен? Разница в том, что ряд - это $%\sum_{n=1}^\infty a_n$%. Для последовательности действительно все просто. А для ряда приходится делать более аккуратную замену,

(26 Дек '11 9:41) freopen

Извините, для последовательности всё нормально- сдала. Теперь надо доказать сходимость именно ряда. Про замену я всё поняла, что делать дальше? Можно поподробнее? Спасибо огромное!!!!

(6 Янв '12 13:04) Lili

Разбейте его на бесконечное количество рядов вида $$\sum_{n=k}^\infty 2^{-n}=2^{-k+1}$$

(6 Янв '12 13:45) freopen

Извините, мы ряды вообще еще не проходили. Учат нас самим разбираться. Теперь я вообще ничего не понимаю... Можно еще подробнее??? Тысячу извинений за мою тупость.

(6 Янв '12 16:19) Lili
1

Ну у нас есть 2n+1 членов вида $%2^{-n}$%. Мы их перегруппируем. Возьмем по одному элементу вида 2^{-n}, n=1,2,... и получим первый ряд. Возьмем по одному элементу вида 2^{-n}, n=2,3,... и получим еще два ряда и т.д. Получаем $$1+2\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k+1}^{\infty}2^{-n}=$$ $$=1+2\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=1+2=3$$

(6 Янв '12 21:57) freopen

Спасибо!Огромное!

(7 Янв '12 12:01) Lili
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×506
×208
×182
×131

задан
25 Дек '11 15:12

показан
1230 раз

обновлен
7 Янв '12 12:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru