Доказать, что прямая Эйлера треугольника $%ABC$% параллельньна стороне $%BC$% тогда и только тогда, когда $%tg B = 3/tg C$%.

задан 18 Сен '14 15:10

изменен 18 Сен '14 21:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Проведём прямую, параллельную $%BC$%, через точку пересечения медиан треугольника. Из свойства медиан следует, что она находится на расстоянии $%\frac13h_a$% от стороны $%BC$% по ту же сторону, что и вершина $%A$%. Нас интересует случай прямой Эйлера, то есть прохождения её через центр описанной окружности $%O$%. Он должен находиться внутри треугольника, то есть мы имеем дело с остроугольным треугольником. Надо заметить, что сюда же мы включаем вырожденный случай -- когда треугольник является правильным, и прямой Эйлера как таковой провести нельзя.

Расстояние от $%O$% до $%BC$% равно $%R\cos\alpha$%, где $%R$% -- радиус описанной окружности. Длина высоты при этом равна $%h_a=c\sin\beta=2R\sin\beta\sin\gamma$%. Следовательно, $%3\cos\alpha=2\sin\beta\sin\gamma$%. С учётом того, что $%\cos\alpha=\cos(\pi-(\beta+\gamma))=-\cos(\beta+\gamma)=\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma$%, уравнение принимает вид $%\sin\beta\sin\gamma=3\cos\beta\cos\gamma$%, то есть $%\tan\beta\tan\gamma=3$%. Рассуждения здесь проходят в обе стороны.

ссылка

отвечен 18 Сен '14 23:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368

задан
18 Сен '14 15:10

показан
272 раза

обновлен
18 Сен '14 23:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru