геометрия - Условие параллельности прямой Эйлера и стороны треугольника

Проведём прямую, параллельную $%BC$%, через точку пересечения медиан треугольника. Из свойства медиан следует, что она находится на расстоянии $%\frac13h_a$% от стороны $%BC$% по ту же сторону, что и вершина $%A$%. Нас интересует случай прямой Эйлера, то есть прохождения её через центр описанной окружности $%O$%. Он должен находиться внутри треугольника, то есть мы имеем дело с остроугольным треугольником. Надо заметить, что сюда же мы включаем вырожденный случай -- когда треугольник является правильным, и прямой Эйлера как таковой провести нельзя.

Расстояние от $%O$% до $%BC$% равно $%R\cos\alpha$%, где $%R$% -- радиус описанной окружности. Длина высоты при этом равна $%h_a=c\sin\beta=2R\sin\beta\sin\gamma$%. Следовательно, $%3\cos\alpha=2\sin\beta\sin\gamma$%. С учётом того, что $%\cos\alpha=\cos(\pi-(\beta+\gamma))=-\cos(\beta+\gamma)=\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma$%, уравнение принимает вид $%\sin\beta\sin\gamma=3\cos\beta\cos\gamma$%, то есть $%\tan\beta\tan\gamma=3$%. Рассуждения здесь проходят в обе стороны.