отображения - Доказать, что отображение является изометрией

Начнём с проверки того, что оператор $%Id-i\phi$% обратим. Достаточно доказать, что у него нулевое ядро. Если $%x$% -- вектор ядра, то $%x=i\phi(x)$%, то есть $%\phi(x)=-ix$%. Положим $%y=x$%, тогда по условию имеет место равенство $%\langle\phi(x),x\rangle=\langle x,\phi(x)\rangle$%. Поскольку для комплексного скалярного произведения имеют место равенства $%\langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$% и $%\langle x,\lambda y\rangle=\bar\lambda\langle x,y\rangle$%, из $%\langle-ix,x\rangle=\langle x,-ix\rangle$% следует $%-i\langle x,x\rangle=i\langle x,x\rangle$%, то есть $%\langle x,x\rangle=0$%, и $%x=0$%.

Оператор вида $%AB^{-1}$% будет являться изометрией пространства, если он сохраняет скалярное произведение, то есть $%\langle AB^{-1}x,AB^{-1}y\rangle=\langle x,y\rangle$% для всех $%x,y\in V$%. Это равносильно тому, что $%\langle Ax,Ay\rangle=\langle Bx,By\rangle$% для всех $%x,y\in V$%, так как $%B$% обратим.

Проверка того, что для $%A=Id+i\phi$%, $%B=Id-i\phi$% справедливо последнее из равенств, большого труда не составляет. Так, $%\langle Ax,Ay\rangle=\langle x+i\phi(x),y+i\phi(y)\rangle=\langle x,x\rangle+i\langle\phi(x),y\rangle-i\langle x,\phi(y)\rangle+\langle\phi(x),\phi(y)\rangle$%. Аналогично, $%\langle Bx,By\rangle=\langle x-i\phi(x),y-i\phi(y)\rangle=\langle x,x\rangle-i\langle\phi(x),y\rangle+i\langle x,\phi(y)\rangle+\langle\phi(x),\phi(y)\rangle$%. Значения оказываются одинаковыми ввиду тождества, данного в условии (средние члены в обоих выражениях сокращаются).