Дано: $%\phi:V\to V$% - эндоморфизм конечного векторного пространства $%V$% над полем $%\mathbb{C} $%, такой что $% \langle \phi(x), y\rangle = \langle x, \phi(y) \rangle $%. Доказать, что $%(Id_V+i\phi)\circ(Id_V-i\phi)^{-1} $% - изометрия $%V$%.

Что, совсем муть? У меня вот тоже идей нет..

задан 18 Сен '14 17:25

изменен 18 Сен '14 23:40

Нет, здесь всё достаточно легко проверяется. Сейчас напишу.

(19 Сен '14 1:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Начнём с проверки того, что оператор $%Id-i\phi$% обратим. Достаточно доказать, что у него нулевое ядро. Если $%x$% -- вектор ядра, то $%x=i\phi(x)$%, то есть $%\phi(x)=-ix$%. Положим $%y=x$%, тогда по условию имеет место равенство $%\langle\phi(x),x\rangle=\langle x,\phi(x)\rangle$%. Поскольку для комплексного скалярного произведения имеют место равенства $%\langle\lambda x,y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle$% и $%\langle x,\lambda y\rangle=\bar\lambda\langle x,y\rangle$%, из $%\langle-ix,x\rangle=\langle x,-ix\rangle$% следует $%-i\langle x,x\rangle=i\langle x,x\rangle$%, то есть $%\langle x,x\rangle=0$%, и $%x=0$%.

Оператор вида $%AB^{-1}$% будет являться изометрией пространства, если он сохраняет скалярное произведение, то есть $%\langle AB^{-1}x,AB^{-1}y\rangle=\langle x,y\rangle$% для всех $%x,y\in V$%. Это равносильно тому, что $%\langle Ax,Ay\rangle=\langle Bx,By\rangle$% для всех $%x,y\in V$%, так как $%B$% обратим.

Проверка того, что для $%A=Id+i\phi$%, $%B=Id-i\phi$% справедливо последнее из равенств, большого труда не составляет. Так, $%\langle Ax,Ay\rangle=\langle x+i\phi(x),y+i\phi(y)\rangle=\langle x,x\rangle+i\langle\phi(x),y\rangle-i\langle x,\phi(y)\rangle+\langle\phi(x),\phi(y)\rangle$%. Аналогично, $%\langle Bx,By\rangle=\langle x-i\phi(x),y-i\phi(y)\rangle=\langle x,x\rangle-i\langle\phi(x),y\rangle+i\langle x,\phi(y)\rangle+\langle\phi(x),\phi(y)\rangle$%. Значения оказываются одинаковыми ввиду тождества, данного в условии (средние члены в обоих выражениях сокращаются).

ссылка

отвечен 19 Сен '14 1:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×58

задан
18 Сен '14 17:25

показан
292 раза

обновлен
19 Сен '14 1:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru