В прямоугольном треугольнике расстояния от центра вписанного в него круга до вершин его острых углов равны $%\sqrt{5}$% и $%\sqrt{10}$%. Найти периметр треугольника.

задан 18 Сен '14 17:52

изменен 18 Сен '14 21:41

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно было обозначить радиус вписанной окружности через $%r$%, а потом выразить через него длины всех отрезков, после чего применить к исходному треугольнику теорему Пифагора. Получается уравнение с квадратными корнями, решать которое не слишком удобно. Поэтому применим тригонометрические соображения.

Если $%r$% -- радиус вписанной окружности, $%\alpha$% и $%\beta$% -- острые углы треугольника, то из условия сразу вытекает, что $%r=\sqrt5\sin\frac{\alpha}2=\sqrt{10}\sin\frac{\beta}2$%. Это значит, что $%\sin\frac{\alpha}2=\sqrt2\sin\frac{\beta}2$%, откуда после возведения в квадрат получится $%\sin^2\frac{\alpha}2=2\sin^2\frac{\beta}2$%, и далее можно всё выразить через косинусы острых углов: $%1-\cos\alpha=2(1-\cos\beta)$%. Косинусы при этом удовлетворяют равенству $%\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1$% ввиду основного тригонометрического тождества. Полагая $%t=\cos\beta$%, мы имеем $%\cos\alpha=2t-1$%, что приводит к квадратному уравнению $%5t^2-4t=0$%, из которого $%t=\frac45$%. Тогда $%\sin^2\frac{\beta}2=\frac{1-\cos\beta}2=\frac1{10}$%, откуда $%r=1$%. Далее уже всё находится просто, и получается "пифагоров" треугольник со сторонами 3, 4, 5.

ссылка

отвечен 18 Сен '14 22:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×372

задан
18 Сен '14 17:52

показан
327 раз

обновлен
18 Сен '14 22:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru