треугольник - Задача по геометрии

Здесь можно было обозначить радиус вписанной окружности через $%r$%, а потом выразить через него длины всех отрезков, после чего применить к исходному треугольнику теорему Пифагора. Получается уравнение с квадратными корнями, решать которое не слишком удобно. Поэтому применим тригонометрические соображения.

Если $%r$% -- радиус вписанной окружности, $%\alpha$% и $%\beta$% -- острые углы треугольника, то из условия сразу вытекает, что $%r=\sqrt5\sin\frac{\alpha}2=\sqrt{10}\sin\frac{\beta}2$%. Это значит, что $%\sin\frac{\alpha}2=\sqrt2\sin\frac{\beta}2$%, откуда после возведения в квадрат получится $%\sin^2\frac{\alpha}2=2\sin^2\frac{\beta}2$%, и далее можно всё выразить через косинусы острых углов: $%1-\cos\alpha=2(1-\cos\beta)$%. Косинусы при этом удовлетворяют равенству $%\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1$% ввиду основного тригонометрического тождества. Полагая $%t=\cos\beta$%, мы имеем $%\cos\alpha=2t-1$%, что приводит к квадратному уравнению $%5t^2-4t=0$%, из которого $%t=\frac45$%. Тогда $%\sin^2\frac{\beta}2=\frac{1-\cos\beta}2=\frac1{10}$%, откуда $%r=1$%. Далее уже всё находится просто, и получается "пифагоров" треугольник со сторонами 3, 4, 5.