|
$$\begin{array}{l} {\text{Вычислить предел:}}\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\sqrt {4{x^2} + x - 1} - \sqrt {4{x^2} - 3x + 1} } \right)^{\sqrt {4{x^2} + x - 1} + \sqrt {4{x^2} - 3x + 1} }} \end{array}$$ задан 19 Сен '14 0:33 
Igore |
|
Можно воспользоваться тем, что $%\sqrt{1+t}=1+\frac12t-\frac18t^2+o(t^2)$% при $%t\to0$%. Тогда получается, что $%\sqrt{4x^2+x-1}=2x\sqrt{1+\frac1{4x}-\frac1{4x^2}}=2x(1+\frac1{8x}-\frac1{8x^2}-\frac1{128x^2}+o(\frac1{x^2}))=2x+\frac14-\frac{17}{64x}+o(\frac1x)$% при $%x\to\infty$% и $%\sqrt{4x^2-3x+1}=2x\sqrt{1-\frac3{4x}+\frac1{4x^2}}=2x(1-\frac3{8x}+\frac1{8x^2}-\frac9{128x^2}+o(\frac1{x^2}))=2x-\frac34+\frac7{64x}+o(\frac1x)$%. Тогда разность корней равна $%1-\frac3{8x}+o(\frac1x)$%, а их сумма равна $%4x+o(x)$%. Логарифм функции под знаком предела при этом равен $%(4x+o(x))\ln(1-\frac3{8x}+o(\frac1x))=4(1+o(1))(-\frac38+o(1))=-\frac32+o(1)$%. Следовательно, предел равен $%e^{-3/2}$%. отвечен 19 Сен '14 2:27 
falcao |