$$(x+10)^2-6x\sqrt{4x-1}=105$$

задан 19 Сен '14 1:04

изменен 19 Сен '14 21:59

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
2

Уравнение имеет вид $%x^2+20x-5=6x\sqrt{4x-1}$%. Его можно возвести в квадрат, добавляя условие неотрицательности левой части. Получается уравнение 4-й степени $%x^4-104x^3+426x^2-200x+25=0$%, которое при помощи метода Феррари раскладывается на квадратичные множители: $%(x^2-4x+1)(x^2-100x+25)=0$% (на худой конец, это разложение можно найти подбором: числа тут явно не случайные). Корни имеют вид $%2\pm\sqrt3$% и $%50\pm15\sqrt{11}$%. Теперь их надо проверить на предмет выполнения неравенства $%x^2\ge5-20x$%.

Можно поступить так: для первого из уравнений $%x^2=4x-1$%, и получается неравенство $%x\ge\frac14$% (необходимое для существования квадратного корня), которое выполнено ввиду неравенства $%\sqrt3 < \frac74$%. Для второго уравнения $%x^2=100x-25$%, и ограничение на $%x$% получается точно такое же. Неравенство $%50-15\sqrt{11} > \frac14$% равносильно $%\sqrt{11} < \frac{10}3-\frac1{60}$%, и оно проверяется при помощи возведения в квадрат.

Таким образом, все четыре корня подходят. Два из них чуть превышают $%\frac14$%, один немного меньше $%4$%, и ещё один близок к $%100$%.

Здесь наверняка есть какое-то менее "техническое" решение, но я не думал над тем, как оно могло бы выглядеть. Например, можно применить замену $%y=\sqrt{4x-1}$%: уравнение 4-й степени после этого выглядит несколько попроще. Правда, там дополнительно надо будет находить значения $%x$%, и я не уверен, что вычисления упростятся.

ссылка

отвечен 19 Сен '14 2:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,843

задан
19 Сен '14 1:04

показан
578 раз

обновлен
19 Сен '14 21:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru