Рассматривается последовательность целых чисел $%\big\{a_n, n\geq1\big\}$%.
1. Пусть выполняется условие: $%a_n= min(a_n, 0) - a_{n-1}$% для всех $%n \geq 2$%. Доказать, что эта последовательность периодическая.
2. Пусть выполняются условия:
$%a_{2n+1}= min(2a_{2n}, 0) – a_{2n-1}$% и $%a_{2n+2}= min(a_{2n+1}, 0) – a_{2n}$% для всех. Доказать периодичность этой последовательности.
3. Пусть выполняются условия: $%a_{2n+1}= min(3a_{2n}, 0) – a_{2n-1}$% и $%a_{2n+2}= min(a_{2n+1}, 0) – a_{2n}$% для всех . Доказать, что эта последовательность периодична.

Замечание: все символы после буквы $%a$% считать индексами.

задан 19 Сен '14 17:54

изменен 20 Сен '14 16:41

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Хотелось бы точнее понять условие. Скажем, что имеется в виду в пункте 1: там $%a_{n+1}=\min(a_n,0)-a_n-1$%, или же $%a_{n+1}=\min(a_n,0)-a_{n-1}$%? Надо бы во всех случаях провести "ревизию" на предмет такой вот возможной неоднозначности.

(19 Сен '14 20:00) falcao

п-1 рассматривается как индекс (предложенный вами второй вариант). В других случаях аналогично.
Очень благодарна за внимание к моим вопросам!

(19 Сен '14 22:45) Алла71
10|600 символов нужно символов осталось
3

1) Докажем, что последовательность является (чисто) периодической с периодом 5. Следующий член последовательности легко вычисляется по рекуррентной формуле, если нам известен знак последнего из получившихся членов. Поэтому рассмотрим несколько случаев. Начнём с того, где первые два члена неотрицательны. Буквами $%a$%, $%b$% далее будет обозначать произвольные неотрицательные числа. При работе с отрицательными числами перед буквой будем ставить знак "минус".

Итак, в указанном случае у нас однозначно получается следующее: $%a;b;-a;-a-b;-b;a;b;...$%. Видно, что $%a_6=a_1$% и $%a_7=a_2$%. Далее всё периодически повторяется, так как следующие члены однозначно выражаются через два самых последних.

Заметим, что если мы полученную последовательность начнём со второго члена, то этому будет соответствовать случай, когда первый член неотрицателен, а второй неположителен. Получится та же последовательность со сдвигом, у неё такой же период. Значит, этот случай можно отдельно не рассматривать. То же касается последовательности, у которой первый член неположителен, а второй положителен: здесь мы начинаем всё читать с 5-го члена.

Остаётся нерассмотренным случай, когда первые два члена отрицательны. Здесь мы может написать $%-a;-b;a-b;...$%, но теперь нам не известен знак числа $%a-b$%. Возникают два подслучая.

При $%a\ge b$% продолжение имеет вид $%-a;-b;a-b;b;b-a;-a;-b;...$% с той же закономерностью. Если же $%a\le b$%, то мы получаем $%-a;-b;a-b;a;b-a;-a;-b;...$%, то есть период всегда имеет длину 5.

2) Здесь всё решается по аналогичному принципу. Пусть первые два члена неотрицательны. Последовательность однозначно строится: $%a;b;-a;-a-b;-a-2b;-b;a;b;...$%, и получается период длиной 6. Как и в прошлом пункте, она охватывает случаи, когда хотя бы один из первых двух членов неотрицателен (читаем всё со 2-й или с 6-й позиции). Поэтому далее анализируем случай двух отрицательных первых членов.

Начало всегда имеет вид $%-a;-b;a-2b;...$%, и далее надо знать, какой знак имеет число $%a-2b$%. При $%a\ge2b$% всё продолжается однозначно: $%-a;-b;a-2b;b;2b-a;b-a;-a;-b;...$% с периодом длиной 6, как и выше. Здесь надо заметить, что $%b\le2b\le a$%, откуда $%a_6=b-a\le0$%, а следующий за ним член последовательности имеет нечётный номер, поэтому вычисляется он по формуле $%a_7=2a_6-a_5=2(b-a)-(2b-a)=-a$%.

Если $%a\le2b$%, то поведение последовательности зависит от того, как соотносятся по величине числа $%a$% и $%b$%. При $%b\le a\le 2b$% получится $%-a;-b;a-2b;a-b;2b-a;b-a;-a;-b;...$%, а при $%a\le b$% последовательность имеет вид $%-a;-b;a-2b;a-b;a;b-a;-a;-b;...$%, и длина периода везде равна 6.

3) Здесь всё решается аналогично -- с единственной разницей, что длина периода оказывается равна 8, и подслучаев для двух отрицательных первых членов требуется рассмотреть чуть побольше. Прежде всего, для первых двух неотрицательных членов однозначно получается $%a;b;-a;-a-b;-2a-3b;-a-2b;-a-3b;-b;a;b;...$%. Как и выше, далее достаточно рассмотреть только случай отрицательности первых двух членов.

Выпишем получающийся результат, так как всё легко проверяется.

При $%a\ge3b$% получается $%-a;-b;a-3b;b;3b-a;2b-a;3b-2a;b-a;-a;-b;...$%. Если $%2b\le a\le3b$%, то будет $%-a;-b;a-3b;a-2b;3b-a;2b-a;3b-2a;b-a;-a;-b;...$%. Для случая $%\frac32b\le a\le2b$% получится $%-a;-b;a-3b;a-2b;2a-3b;2b-a;3b-2a;b-a;-a;-b;...$%. Наконец, при $%a\le\frac32b$% пять первых членов будут такими же, как и выше, и $%a_6=a-b$%. Если $%b\le a\le\frac32b$%, то за ним идут $%3b-2a;b-a;-a;-b;...$%, а при $%a\le b$% продолжение имеет вид $%a;b-a;-a;-b;...$%. Длина периода всегда оказывается равной 8.

ссылка

отвечен 20 Сен '14 16:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×63

задан
19 Сен '14 17:54

показан
1406 раз

обновлен
20 Сен '14 16:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru