Доказать методом математической индукции

$%\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot 5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}, n>0$%

$%(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})...(1-\frac{1}{(n+1)^{2}})=\frac{n+2}{2(n+1)}, n>0$%

задан 19 Сен '14 19:47

изменен 19 Сен '14 19:48

Это самые типовые из заданий на тему метода математической индукции. Для того, кто усвоил сам метод, они не должны представлять затруднений. Поскольку Вы уже не один раз задавали вопросы такого типа, причём для более сложных заданий, может быть, полезнее было не написать готовое решение, а обсудить, какие возникают трудности? Вот, скажем, как Вы решаете первый из примеров? Там всё автоматически должно получиться, если делать все нужные действия по стандартной процедуре.

(19 Сен '14 19:54) falcao

Первое: http://f-picture.net/lfp/i074.radikal.ru/1409/16/3361b44297fe.jpg/htm. Во втором нашел ошибку, извините.

(19 Сен '14 20:07) ertgeg

Всё понятно. Сам метод Вы точно знаете. Поэтому я сейчас просто прокомментирую написанный Вами текст, чтобы показать, что надо делать, и что не надо.

(19 Сен '14 20:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Комментарий по поводу решения.

При подстановке выражений типа $%n=k+1$% в выражения мы, конечно, вычисляем всё по формулам типа $%2(k+1)-1$% и $%2(k+1)+1$%, но здесь надо устно раскрывать скобки и сразу писать то, что получается. А именно, $%2k+1$% вместо первого и $%2k+3$% вместо второго.

Далее, при доказательстве тождеств можно, конечно, у них преобразовывать обе части, добиваясь того, чтобы получилось верное равенство. Иногда именно так и учат поступать. Но я считаю, это это неэкономный способ, поскольку при этом приходится много раз переписывать одно и то же. По возможности, следует избегать выписывания громоздких выражений. Лучше всего поступать по-другому: брать то выражение, которое имеется в левой части, а потом с использованием индукционного предположения преобразовывать его по правилам. И тогда в конце само получится то, что нужно.

Вот как это выглядит для Вашего примера (беру только основное).

Была сумма, написанная для $%n=k+1$%. Мы сразу представили её в виде $%\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots+\frac1{(2k-1)(2k+1)}+\frac1{(2k+1)(2k+3)}$%. Замечаем, что все слагаемые, кроме последнего, в сумме равны уже известной нам величине, после чего оказывается, что исследуемая нами сумма равна $%\frac{k}{2k+1}+\frac1{(2k+1)(2k+3)}$%. Это сумма двух дробей, и её надо привести к общему знаменателю. Получается $%\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$%. Теперь осталось выражение в числителе разложить на множители. Это, конечно, можно сделать, найдя корни квадратного уравнения и всё остальное, но можно поступить намного короче. А именно, мы знаем, что хотим получить в самом конце: это дробь $%\frac{k+1}{2k+3}$%. Так может быть только в случае, если выражение в числителе равно $%(k+1)(2k+1)$%, и множитель $%2k+1$% должен сократиться. Это действительно так, поскольку при раскрытии скобок получается $%(k+1)(2k+1)=2k^2+2k+k+1=2k^2+3k+1$%. Этим равенством, которое на данный момент строго доказано, надо воспользоваться, и тогда получится $%\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$%, что и требовалось.

Запись такого решения получается короткой, а все вычисления -- простыми и легко проверяемыми. И всё остальное надо решать по такому стандарту -- тогда будет легко получаться.

ссылка

отвечен 19 Сен '14 20:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×62

задан
19 Сен '14 19:47

показан
363 раза

обновлен
19 Сен '14 20:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru