индукция - Доказать методом математической индукции

Комментарий по поводу решения.

При подстановке выражений типа $%n=k+1$% в выражения мы, конечно, вычисляем всё по формулам типа $%2(k+1)-1$% и $%2(k+1)+1$%, но здесь надо устно раскрывать скобки и сразу писать то, что получается. А именно, $%2k+1$% вместо первого и $%2k+3$% вместо второго.

Далее, при доказательстве тождеств можно, конечно, у них преобразовывать обе части, добиваясь того, чтобы получилось верное равенство. Иногда именно так и учат поступать. Но я считаю, это это неэкономный способ, поскольку при этом приходится много раз переписывать одно и то же. По возможности, следует избегать выписывания громоздких выражений. Лучше всего поступать по-другому: брать то выражение, которое имеется в левой части, а потом с использованием индукционного предположения преобразовывать его по правилам. И тогда в конце само получится то, что нужно.

Вот как это выглядит для Вашего примера (беру только основное).

Была сумма, написанная для $%n=k+1$%. Мы сразу представили её в виде $%\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots+\frac1{(2k-1)(2k+1)}+\frac1{(2k+1)(2k+3)}$%. Замечаем, что все слагаемые, кроме последнего, в сумме равны уже известной нам величине, после чего оказывается, что исследуемая нами сумма равна $%\frac{k}{2k+1}+\frac1{(2k+1)(2k+3)}$%. Это сумма двух дробей, и её надо привести к общему знаменателю. Получается $%\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$%. Теперь осталось выражение в числителе разложить на множители. Это, конечно, можно сделать, найдя корни квадратного уравнения и всё остальное, но можно поступить намного короче. А именно, мы знаем, что хотим получить в самом конце: это дробь $%\frac{k+1}{2k+3}$%. Так может быть только в случае, если выражение в числителе равно $%(k+1)(2k+1)$%, и множитель $%2k+1$% должен сократиться. Это действительно так, поскольку при раскрытии скобок получается $%(k+1)(2k+1)=2k^2+2k+k+1=2k^2+3k+1$%. Этим равенством, которое на данный момент строго доказано, надо воспользоваться, и тогда получится $%\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$%, что и требовалось.

Запись такого решения получается короткой, а все вычисления -- простыми и легко проверяемыми. И всё остальное надо решать по такому стандарту -- тогда будет легко получаться.