|
$% \lim_{x \rightarrow 0 } \frac {tgx-sinx}{x^3}$% задан 20 Сен '14 2:01 
Saidasafi
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Всё проще: выноси $%sin(x)$% за скобку, $%1-cos(x)$% и $%six(x)$% заменяй эквивалентными $%x^2/2$% и $%x$%, дальше понятно будет. отвечен 20 Сен '14 17:20 
ArtemZeus |
Если разрешено пользоваться разложением элементарных функций по формуле Тейлора, то все просто: $%\tan(x)=x+\frac13x^3+o(x^3)$%, $%\sin x=x-\frac16x^3+o(x^3)$%, откуда предел равен $%1/2$%.
@falcao, к сожалению, пожалуй, не разрешено... нет иных способов?
А правило Лопиталя разрешено использовать?
@falcao, да)
Тогда надо будет найти третью производную выражения в числителе, следя по ходу дела за тем, что будут возникать неопределённости типа 0/0. После первого применения будет дробь $%\frac{1+\tan^2x-\cos x}{3x^2}$%. После второго $%\frac{2\tan x+2\tan^3x+\sin x}{6x}$%. Наконец, после третьего получится $%\frac{2+8\tan^2x+6\tan^4x+\cos x}{6}$%. Тангенс стремится к нулю, предел дроби равен 3/6=1/2. Так решать тоже можно, но это длинно.
@falcao, большое спасибо)