$% \lim_{x \rightarrow 0 } \frac {tgx-sinx}{x^3}$%

задан 20 Сен '14 2:01

изменен 20 Сен '14 18:30

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Если разрешено пользоваться разложением элементарных функций по формуле Тейлора, то все просто: $%\tan(x)=x+\frac13x^3+o(x^3)$%, $%\sin x=x-\frac16x^3+o(x^3)$%, откуда предел равен $%1/2$%.

(20 Сен '14 2:27) falcao

@falcao, к сожалению, пожалуй, не разрешено... нет иных способов?

(20 Сен '14 2:46) Saidasafi

А правило Лопиталя разрешено использовать?

(20 Сен '14 2:51) falcao

@falcao, да)

(20 Сен '14 2:54) Saidasafi

Тогда надо будет найти третью производную выражения в числителе, следя по ходу дела за тем, что будут возникать неопределённости типа 0/0. После первого применения будет дробь $%\frac{1+\tan^2x-\cos x}{3x^2}$%. После второго $%\frac{2\tan x+2\tan^3x+\sin x}{6x}$%. Наконец, после третьего получится $%\frac{2+8\tan^2x+6\tan^4x+\cos x}{6}$%. Тангенс стремится к нулю, предел дроби равен 3/6=1/2. Так решать тоже можно, но это длинно.

(20 Сен '14 3:02) falcao

@falcao, большое спасибо)

(20 Сен '14 3:48) Saidasafi
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Всё проще: выноси $%sin(x)$% за скобку, $%1-cos(x)$% и $%six(x)$% заменяй эквивалентными $%x^2/2$% и $%x$%, дальше понятно будет.

ссылка

отвечен 20 Сен '14 17:20

изменен 20 Сен '14 18:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,756
×763

задан
20 Сен '14 2:01

показан
708 раз

обновлен
20 Сен '14 17:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru