Найдите хотя бы одно решение в натуральных числах:
$%n_1^2+n_2^3+n_3^4+...+n_{2012}^{2013}=n_{2013}^{2014}$%.

задан 20 Сен '14 17:15

изменен 20 Сен '14 17:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

$% 2^2+3^3+1^4+2^5+2^6+...+2^{2013}=2^{2014} $%

Добавление

Так же сразу получил два аналогичных предыдущему решения на основе равенств $$ 2^2+3^3+4^4+2^5+1^6=2^7 ; $$ $$ 3^2+1^3+1^4+3^5+1^6+1^7=2^8. $$ Легко увидеть, что на основе любого решения $% (n_1, n_2, n_3,...,n_{N-1}), $% где $% N=2014, $% может быть получено бесконечное множество решений вида $$ (c^{md/2}n_1,c^{md/3}n_2,..., c^{md/N}n_{N-1} ), $$ где $% d=NOK(2,3,...,N); c, m $% – любые натуральные числа.

Пытался найти что-нибудь экзотическое, например, на основе выражения

$$ a^k+ (a-1)(a^{k}+ a^{k+1}+...+a^{N-1})= a^{N} . $$

При этом полагая $% a-1= с^{md} $% , получим

$$ (с^{md}+1)^k+(ac^{md/{k}})^{k}+(ac^{md/{k+1}})^{k+1}+...+(ac^{md/{N-1}})^{N-1}= a^{N} $$ Если теперь подобрать натуральные числа $% c, m, n_1, n_2,..., n_{k-2}, $% при $% k \ge 3 , $% , так чтобы выполнялось равенство

$$ (с^{md}+1)^k= n_1^2 +n_2^3+...,+ n_{k-2}^{k-1} ,$$

то получили бы новые серии решений.

Ничего хорошего из этого получить не удалось.

ссылка

отвечен 20 Сен '14 17:43

изменен 21 Сен '14 15:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×629
×134

задан
20 Сен '14 17:15

показан
684 раза

обновлен
21 Сен '14 15:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru