теория - Множества, включение, симметрическая разность

Включение множеств доказывается по такой стандартной схеме: берётся произвольный элемент одного множества, и проверяется, что он принадлежит другому.

Если мы возьмём элемент $%x$%, принадлежащий множеству из левой части, имеющей вид симметрической разности, то он принадлежит одному из множеств -- например, $%x\in A_1\cap\ldots\cap A_n$%, и не принадлежит второму: $%x\notin B_1\cap\ldots\cap B_n$%. Вторая возможность рассматривается совершенно аналогично, так что можно ограничиться рассмотрением этого случая.

Поскольку элемент $%x$% не принадлежит пересечению каких-то множеств, он не принадлежит хотя бы одному из них, то есть существует номер $%i$% от $%1$% до $%n$% такой, что $%x\notin B_i$%. При этом мы знаем, что $%x\in A_i$% (это верно для всех $%i$%). Значит, $%x\in A_i\Delta B_i$%, и можно сделать вывод, что $%x$% принадлежит правой части.