Доказать, что (A1 ∩ . . . ∩ An) Δ (B1 ∩ . . . ∩ Bn) ⊂ (A1ΔB1)∪ . . . . . . ∪(AnΔBn) для любых множеств A1, . . . ,An и B1, . . . ,Bn.

задан 20 Сен '14 19:48

изменен 20 Сен '14 19:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

Включение множеств доказывается по такой стандартной схеме: берётся произвольный элемент одного множества, и проверяется, что он принадлежит другому.

Если мы возьмём элемент $%x$%, принадлежащий множеству из левой части, имеющей вид симметрической разности, то он принадлежит одному из множеств -- например, $%x\in A_1\cap\ldots\cap A_n$%, и не принадлежит второму: $%x\notin B_1\cap\ldots\cap B_n$%. Вторая возможность рассматривается совершенно аналогично, так что можно ограничиться рассмотрением этого случая.

Поскольку элемент $%x$% не принадлежит пересечению каких-то множеств, он не принадлежит хотя бы одному из них, то есть существует номер $%i$% от $%1$% до $%n$% такой, что $%x\notin B_i$%. При этом мы знаем, что $%x\in A_i$% (это верно для всех $%i$%). Значит, $%x\in A_i\Delta B_i$%, и можно сделать вывод, что $%x$% принадлежит правой части.

ссылка

отвечен 20 Сен '14 20:11

Спасибо, но не понял, зачем в третьем абзаце рассматривали принадлежность х к множествам Bi, разве того, что он принадлежит всем множествам вида Ai, не достаточно?

(20 Сен '14 20:48) R0b

Нет, этого было бы не достаточно, так как нам надо элемент $%x$% обнаружить в одной из симметрических разностей. Для этого требуется, чтобы $%x$% принадлежал ровно одному множеству из двух: либо $%A_i$%, либо $%B_i$%, но не обоим сразу.

(20 Сен '14 20:59) falcao

Спасибо еще раз!

(20 Сен '14 21:34) R0b
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×859
×623
×251

задан
20 Сен '14 19:48

показан
754 раза

обновлен
20 Сен '14 21:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru