$$\begin{array}{l} {\text{Найдите все такие пары натуральных чисел }}m{\text{ и }}n{\text{,}}\\ {\text{для которых оба числа }}\frac{{m + {n^2}}}{{{m^2} - n}}{\text{ и }}\frac{{n + {m^2}}}{{{n^2} - m}}{\text{ являются целыми}}{\text{.}} \end{array}$$

задан 21 Сен '14 21:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим отдельно случай $%m=n$%. Он приводит к условию делимости $%n^2+n$% на $%n^2-n$%, то есть $%n+1$% на $%n-1$%. Последнее равносильно делимости $%2$% на $%n-1$%, и здесь подходят значения $%n=2$%, $%n=3$%, что даёт два решения $%(2;2)$% и $%(3;3)$%.

Поскольку условие симметрично относительно $%m$% и $%n$%, достаточно разобрать случай $%m > n$%. При этом $%m^2 > n$%, и тогда из первого условия следует, что $%m+n^2\ge m^2-n$%, то есть $%n(n+1)\ge(m-1)m$%. Однако $%m\ge n+1$%, поэтому должно иметь место равенство. Таким образом, $%m=n+1$%, и первое условие выполнено, а второе означает делимость $%n^2+3n+1$% на $%n^2-n-1$%. Делимое здесь можно заменить на $%4n+2$%, и далее на $%2n+1$% ввиду нечётности делителя. Ясно, что $%n=1$% и $%n=2$% подходят, $%n=3$% не подходит, а при $%n\ge4$% делимое оказывается меньше делителя, принимающего натуральные значения. Имеем решения $%(2;1)$% и $%(3;2)$%, а также решения $%(1;2)$% и $%(2;3)$%, получаемые перестановкой. Итого шесть решений в натуральных числах.

ссылка

отвечен 21 Сен '14 22:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×119

задан
21 Сен '14 21:37

показан
320 раз

обновлен
21 Сен '14 22:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru