$$\begin{array}{l} {\text{Найдите наименьшее значение выражения }}{a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}{\text{ среди}}\\ {\text{всех тех }}a{\text{ и }}b{\text{, для которых уравнение }}\left| {\left| {x - 4} \right| - 2} \right| - ax + 4a - b = 0\\ {\text{имеет ровно три различных корня}}{\text{. Укажите}}{\text{, при каких }}a{\text{ и }}b\\ {\text{достигается это значение}}{\text{.}} \end{array}$$

задан 21 Сен '14 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сделаем замену $%t=x-4$%, это не влияет на число решений. Уравнение принимает вид $%||t|-2|=at+b$%. График функции с модулем легко строится; линейная функция должна проходить через одну из точек его "излома": в противном случае количество решений чётно.

Если $%y=at+b$% проходит через $%(0;2)$%, то $%b=2$%, $%|a| < 1$%, и выражение $%a^2+(b-1)^2$% принимает при $%a=0$% наименьшее значение, равное $%1$%. Если график $%y=at+b$% проходит через $%(-2;0)$%, то $%b=2a$%, $%0 < a < 1$%, и выражение $%a^2+(b-1)^2$% равно $%5a^2-4a+1$%. Наименьшее значение оно принимает в вершине параболы, то есть при $%a=2/5$%, и равно оно $%1/5$%. В симметричном случае, когда график проходит через $%(2;0)$%, получается $%b=-2a$% и $%-1 < a < 0$%. Выражение $%a^2+(b-1)^2$% здесь равно $%5a^2+4a+1$%, и наименьшее значение оно принимает при $%a=-2/5$%, а его значение также равно $%1/5$%.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно $%\frac15$%; оно достигается при $%a=\pm\frac25$% и $%b=\frac45$%.

ссылка

отвечен 21 Сен '14 23:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×227

задан
21 Сен '14 22:07

показан
261 раз

обновлен
21 Сен '14 23:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru