алгебра - Решить неравенство с параметром

Из условия следует, что $%x > 0$%. Раскроем неравенство с модулем: $%-x\le\frac1x+2a\le x$% и домножим на положительное число $%x$%. Получится $%-x^2\le2ax+1\le x^2$%, то есть это система из двух квадратичных неравенств: $%x^2-2ax-1\ge0$% и $%x^2+2ax+1\ge0$%.

Квадратное уравнение $%x^2-2ax-1=0$% имеет два корня $%a\pm\sqrt{a^2+1}$%: положительный и отрицательный. Поскольку $%x > 0$%, мы получаем $%x\ge a+\sqrt{a^2+1}$%. У уравнения $%x^2+2ax+1=0$% приведённый дискриминант равен $%D/4=a^2-1$%, поэтому при $%a^2\le1$% второе неравенство выполнено для всех $%x$%. Рассмотрим случай $%|a| > 1$%. Для него дискриминант положителен; корни имеют вид $%-a\pm\sqrt{a^2-1}$%. Множество решений второго неравенства представляет собой совокупность двух условий: $%x\ge x_2=-a+\sqrt{a^2-1}$%; $%x\le x_1=-a-\sqrt{a^2-1}$%.

Заметим, что корнями второго квадратного уравнения будут числа одного знака (их произведение равно $%1$%). Их сумма равна $%-2a$%, поэтому они будут отрицательными при $%a > 1$% и положительными при $%a < -1$%.

Если $%a > 1$%, то в пересечении с множеством решений первого неравенства будет $%x\in[a+\sqrt{a^2+1};+\infty)$%, и такое же множество решений получается при всех $%a\ge-1$%.

Если $%a < -1$%, то удобно положить $%b=-a > 1$%, сравнивая между собой числа $%x_1=b-\sqrt{b^2-1}=\frac1{b+\sqrt{b^2-1}}$% и $%a+\sqrt{a^2+1}=\sqrt{b^2+1}-b=\frac1{\sqrt{b^2+1}+b}$%. Очевидно, что первое из них чисел больше. Тогда в пересечении множеств решений первого и второго неравенства получится $%x\in[a+\sqrt{a^2+1};-a-\sqrt{a^2-1}]\cup[-a+\sqrt{a^2-1};+\infty)$%.