окружность - Найти радиус вписанной окружности

Есть такой общий факт, с применением которого эта задача легко решается. Пусть имеются две окружности радиусов $%R > r$%, касающиеся внешним образом. Тогда длина отрезка общей внешней касательной находится по готовой формуле $%2\sqrt{Rr}$%. Доказывается это так: соединяем центры, а также каждый из центров с точкой касания прямой. Получается прямоугольная трапеция. Её разрезаем на прямоугольник и на прямоугольный треугольник, проводя через центр меньшей окружности прямую, параллельную касательной. У треугольника гипотенуза равна $%R+r$%, и один из катетов равен $%R-r$%. Второй катет находим по теореме Пифагора, а он и есть длина отрезка касательной.

Теперь применим это свойство три раза. Еcли $%x$% -- радиус вписанной окружности, то её точка касания делит отрезок длиной $%2\sqrt{4\cdot9}=12$% на отрезки длиной $%2\sqrt{4x}=4\sqrt{x}$% и $%2\sqrt{9x}=6\sqrt{x}$%. Отсюда $%\sqrt{x}=\frac{12}{10}=\frac65$%, и $%x=\frac{36}{25}$%.