Докажите, что для любого натурального числа $%n$% существуют попарно различные натуральные числа $%a1,a2,...,an$% такие, что $%an!=an-1!an-2!...a1!$%

задан 22 Сен '14 12:23

изменен 3 Июн 23:55

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


2.6k19

10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача имеет смысл при $%n\ge3$%. Для $%n=3$% пример такой: $%6!=5!\cdot6=5!\cdot3!$%. Далее берём факториал числа $%720=6!$%, получая $%720!=720\cdot719!=6!\cdot719!$%, представляя далее $%6!$% как произведение двух факториалов. Это даёт пример чисел для $%n=4$%. Далее пойдёт число $%(720!)!$%, которое представляется в виде $%720!\cdot(720!-1)!$%, и так далее.

ссылка

отвечен 22 Сен '14 17:26

@falcao, можно пойти и обратным путём. Перемножим числа $%1!, 2!, 3!,\dots , (n-2)!$%, обозначим полученное произдевение буквой $%P$%. В качестве $%a_{n-1}$% возьмём число $%P-1$%, а в качестве $%a_{n}$% возьмём $%P$%. Полученный алгоритм будет работать при всех $%n\in\mathbb{N}$%, за исключением 1, 2, 3 и 4. Для $%n=3$% годятся числа 3, 5 и 6. Для $%n=4$% подойдут числа 1, 3, 5 и 6. Для $%n=1$% подойдёт число 1, так как пустое произведение (которое получится в правой части равенства) равно 1. При $%n=2$% задача, как Вы уже заметили, не имеет смысла (если не считать 0 натуральным).

(3 Июн 23:50) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я здесь вижу примерно то же эффект. Есть ли какая-то существенная разница одного и другого способа?

(4 Июн 0:10) falcao

@falcao, существенной нет, просто предлагаю ещё одно решение. Ваше мне тоже нравится.

(4 Июн 0:16) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: вопрос в том, получаются ли при этом те же самые числа, или какие-то другие? Можно сравнить, например, для n=5.

(4 Июн 0:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×631
×110
×50
×4
×1

задан
22 Сен '14 12:23

показан
514 раз

обновлен
4 Июн 0:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru