|
Докажите, что для любого натурального числа $%n$% существуют попарно различные натуральные числа $%a1,a2,...,an$% такие, что $%an!=an-1!an-2!...a1!$% задан 22 Сен '14 12:23 
Lackawanna |
|
Задача имеет смысл при $%n\ge3$%. Для $%n=3$% пример такой: $%6!=5!\cdot6=5!\cdot3!$%. Далее берём факториал числа $%720=6!$%, получая $%720!=720\cdot719!=6!\cdot719!$%, представляя далее $%6!$% как произведение двух факториалов. Это даёт пример чисел для $%n=4$%. Далее пойдёт число $%(720!)!$%, которое представляется в виде $%720!\cdot(720!-1)!$%, и так далее. отвечен 22 Сен '14 17:26 
falcao @falcao, можно пойти и обратным путём. Перемножим числа $%1!, 2!, 3!,\dots , (n-2)!$%, обозначим полученное произдевение буквой $%P$%. В качестве $%a_{n-1}$% возьмём число $%P-1$%, а в качестве $%a_{n}$% возьмём $%P$%. Полученный алгоритм будет работать при всех $%n\in\mathbb{N}$%, за исключением 1, 2, 3 и 4. Для $%n=3$% годятся числа 3, 5 и 6. Для $%n=4$% подойдут числа 1, 3, 5 и 6. Для $%n=1$% подойдёт число 1, так как пустое произведение (которое получится в правой части равенства) равно 1. При $%n=2$% задача, как Вы уже заметили, не имеет смысла (если не считать 0 натуральным).
(3 Июн '18 23:50)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка: я здесь вижу примерно то же эффект. Есть ли какая-то существенная разница одного и другого способа?
(4 Июн '18 0:10)
falcao
@falcao, существенной нет, просто предлагаю ещё одно решение. Ваше мне тоже нравится.
(4 Июн '18 0:16)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка: вопрос в том, получаются ли при этом те же самые числа, или какие-то другие? Можно сравнить, например, для n=5.
(4 Июн '18 0:23)
falcao
|