$%x,y,z>0$%, $%xy+yz+zx=3xyz$%.

Докажите, что $%(x^2)y+(y^2)z+(z^2)x \geq 2(x+y+z)-3$%.

задан 22 Сен '14 12:35

изменен 23 Сен '14 10:53

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим разность левой и правой части неравенства, представляя $%3$% в виде $%\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac1x+\frac1y+\frac1z$%. Получится выражение, в котором можно сделать группировку: $%(x^2y-2x+\frac1y)+(y^2z-2y+\frac1z)+(z^2x-2z+\frac1x)$%. Первое слагаемое равно $%\frac{x^2y^2-2xy+1}y=\frac{(xy-1)^2}y\ge0$%, а остальные получаются симметричным способом. Поэтому сумма будет неотрицательна.

ссылка

отвечен 22 Сен '14 17:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×469
×301

задан
22 Сен '14 12:35

показан
631 раз

обновлен
22 Сен '14 17:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru