|
Здравствуйте. Решал задачу найти предел последовательности lim (1 - 5/n)^n, при n -> бесконеч. Решение, судя по ответам к задаче, сводится к тому что надо заменить y=-5/n, тогда lim (1-5/n)^n = lim 1 / lim ((1 + 1/y)^y)5 = 1 / (e)^5 , но lim (1 + 1/y)^y = e, при y -> бесконеч., только если y - число натуральное, но ведь оно таковым не является. Как тогда быть? Спасибо. задан 22 Сен '14 15:21 
Fillcolens
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Есть общий факт, доказываемый в курсах математического анализа. Он состоит в том, что $%\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{a}x)^x=e^a$%. Это верно при стремлении $%x$% к бесконечности в ту и в другую сторону. Но здесь этот общий факт использовать не обязательно. Посмотрим, как свести всё к обычному второму замечательном пределу для последовательностей. Считаем известным то, что $%(1+\frac1n)^n\to e$% при $%n\to\infty$%. Из этого несложно выводится, что $%(1+\frac1x)^x\to e$% при $%x\to+\infty$%. Распространить всё на случай отрицательных значений можно так. Рассмотрим последовательность $%(1-\frac1n)^n$% при $%n\ge2$%. Она обратна последовательности $%(\frac{n}{n-1})^n=(1+\frac1{n-1})^n=(1+\frac1{n-1})^{n-1}(1+\frac1{n-1})$%. Ясно, что первый сомножитель стремится к $%e$%, а второй к единице. Отсюда следует, что $%(1-\frac1n)^n\to e^{-1}$% при $%n\to\infty$%. Далее этот факт обычным способом распространяется с последовательностей на функции, то есть получается, что $%\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\frac1x)^x=\frac1e$%. С учётом этого соображения, после замены $%y=\frac5n$% всё становится применимо. отвечен 31 Окт '14 0:31 
falcao |
|
Надо сделать замену $%y=-5n$%. И тогда все получится $$lim(1-5/(-5n))^{-5n}=lim((1+1/n)^n)^{-5}=e^{-5}.$$ отвечен 22 Сен '14 17:59 
sliy @sliy: при таком способе получается доказательство того, что подпоследовательность $%a_{5n}$% стремится к $%e^{-5}$%. Из этого, конечно, легко вывести то, что вся последовательность стремится к этому же числу на основании монотонности. Но лучше, наверное, применять более общий факт, касающийся предела функции.
(22 Сен '14 18:27)
falcao
|
В курсе анализа доказывается более общий факт, касающийся предела функции $%(1+\frac1x)^x$% при $%x\to\infty$%. Он достаточно легко выводится из аналогичного факта для предела последовательности.
@Fillcolens, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.
А можно, пожалуйста, строгое решение вывести?
@Fillcolens: переход от натуральных значений к действительным -- это материал учебника. Там это всё как следует обосновано. Идея тут простая: каждое положительное число x находится между n и n+1, откуда вытекают нужные неравенства.
И все равно я вас не понимаю. Рассуждаю так: если взять предел последовательности, то он, как вы указали, равен соответствующему пределу функции $$\lim_{x \rightarrow \propto } \big(1- \frac{5}{x} \big) ^{x} $$ потом делается замена x=-5y, тогда получим $$\lim_{-5y \rightarrow \infty } \big(1+ \frac{1}{y} \big) ^{-5y}$$ но здесь при $$x \rightarrow \infty , y \rightarrow - \infty$$ поэтому второй замечательный предел нельзя применить
@Fillcolens: я понял, что Вас интересует. Сейчас напишу.