|
$$\begin{array}{l} {\text{Сколько существует натуральных чисел }}n{\text{, для которых}}\\ {4^n} - 15{\text{ является квадратом целого числа?}} \end{array}$$ задан 22 Сен '14 16:41 
Igore |
|
Это же очень просто. $$4^{n}-15=x^2$$ $$(2^{n}-x)(2^{n}+x)=15=ab$$ $$x=2^{n}-a$$ $$2^{n+1}=b+a$$ Это будет в двух случаях, когда сумма равна 8 и 16. Значит $%n=3$% или $%n=2$%. отвечен 22 Сен '14 16:54 
Individ |
|
Ясно, что вместо квадратов целых чисел здесь можно говорить о квадратах натуральных. Тогда, если $%4^n-15=m^2$%, то $%(2^n-m)(2^n+m)=15$%. В левой части -- произведение двух натуральных чисел, меньшего и большего, в произведении дающих $%15$%. Это либо $%3$% и $%5$%, для которых $%2^n$% равно полусумме множителей, то есть $%n=2$%, $%m=1$%, либо $%1$% и $%15$%, где $%n=3$%, $%m=7$%. Таким образом, имеется ровно два числа с требуемым свойством -- это 2 и 3. отвечен 22 Сен '14 16:55 
falcao |