$$\begin{array}{l} {\text{Сколько существует натуральных чисел }}n{\text{, для которых}}\\ {4^n} - 15{\text{ является квадратом целого числа?}} \end{array}$$

задан 22 Сен '14 16:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это же очень просто. $$4^{n}-15=x^2$$

$$(2^{n}-x)(2^{n}+x)=15=ab$$

$$x=2^{n}-a$$

$$2^{n+1}=b+a$$

Это будет в двух случаях, когда сумма равна 8 и 16. Значит $%n=3$% или $%n=2$%.

ссылка

отвечен 22 Сен '14 16:54

изменен 23 Сен '14 11:07

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ясно, что вместо квадратов целых чисел здесь можно говорить о квадратах натуральных. Тогда, если $%4^n-15=m^2$%, то $%(2^n-m)(2^n+m)=15$%. В левой части -- произведение двух натуральных чисел, меньшего и большего, в произведении дающих $%15$%. Это либо $%3$% и $%5$%, для которых $%2^n$% равно полусумме множителей, то есть $%n=2$%, $%m=1$%, либо $%1$% и $%15$%, где $%n=3$%, $%m=7$%. Таким образом, имеется ровно два числа с требуемым свойством -- это 2 и 3.

ссылка

отвечен 22 Сен '14 16:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×119

задан
22 Сен '14 16:41

показан
1550 раз

обновлен
22 Сен '14 16:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru