Дана матрица: $$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}.$$

Найти $%A^{100}$%.

Я примерно представляю, что здесь какая-то закономерность должна быть, но не вижу ее. Прошу помочь.

задан 22 Сен '14 20:51

изменен 23 Сен '14 11:22

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это делается, например, при помощи методов линейной алгебры. Матрицу можно привести к диагональному виду, представляя в виде $%A=TBT^{-1}$%, где $%B$% -- диагональная, и $%T$% -- матрица перехода от единичного базиса к базису, состоящему из собственных векторов. Тогда $%A^{n}=TB^nT^{-1}$%, а диагональная матрица в степень легко возводится.

Если этих методов не применять, то можно выписать рекуррентные соотношения для элементов матрицы. Все они удовлетворяют характеристическому уравнению вида $%x_{n+2}-5x_{n+1}-2x_n=0$% и выражаются в виде $%x_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n$% для некоторых констант $%C_1$%, $%C_2$%. Числа $%\lambda_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{33}}2$% -- это корни квадратного уравнения $%\lambda^2-5\lambda-2=0$%.

Из этого следует, что $%A^n=A_1\lambda_1^n+A_2\lambda_2^n$%, где $%A_1$%, $%A_2$% -- постоянные матрицы. Найти их можно из условий $%A_1+A_2=E$% (при $%n=0$%) и $%\lambda_1A_1+\lambda_2A_2=A$% (при $%n=1$%). Решая эту матричную систему, мы находим $%A_1=\frac1{\lambda_2-\lambda_1}(\lambda_2E-A)$% и $%A_2=\frac1{\lambda_2-\lambda_1}(A-\lambda_1E)$%, где $%\lambda_2-\lambda_1=\sqrt{33}$%.

ссылка

отвечен 22 Сен '14 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×433

задан
22 Сен '14 20:51

показан
480 раз

обновлен
22 Сен '14 22:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru