Найти сторону треугольника

Рассмотрим треугольник $%BGC$%, где $%G$% -- точка пересечения медиан. По свойству медиан, $%BG=\frac23BM=\frac23\sqrt{34}$% и $%CG=\frac23CK=\frac{10}3$%. Опустим из точки $%G$% высоту $%GN$% на сторону $%AB$%. Из того же свойства медиан следует, что длина её равна $%\frac13$% длины высоты, опущенной из точки $%A$%, то есть $%GN=2$%. Тогда теорема Пифагора позволяет найти длины отрезков $%BN$% и $%CN$%. А именно, $%BN^2=BG^2-GN^2=\frac49\cdot34-4=4\cdot\frac{25}9$%, откуда $%BN=\frac{10}3$%. Аналогично, $%CN^2=\frac{100}9-4=\frac{64}9$%, и $%CN=\frac83$%.

Тем самым, $%BC=\frac{10}3\pm\frac83$% может принимать два значения: $%6$% и $%\frac23$%. Оба этих варианта возможны. Можно показать, что в одном случае стороны равны $%AB=2\sqrt{13}$%, $%AC=2\sqrt{10}$%, $%BC=6$%. В другом варианте получается $%AB=\frac23\sqrt{277}$%, $%AC=\frac{10}3\sqrt{10}$%, $%BC=\frac23$%.