Доказать, что в правильном тетраэдре отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, является их общим перпендикуляром.

задан 23 Сен '14 11:08

10|600 символов нужно символов осталось
1

В принципе, это легко доказать из соображений симметрии. Но если использовать скалярное произведение, то можно рассуждать так. Рассмотрим правильный тетраэдр $%ABCD$%. Обозначим середины рёбер $%AB$%, $%CD$% через $%K$%, $%M$%. Надо проверить, что $%KM\perp AB$% и $%KM\perp CD$%. Оба утверждения аналогичны; ограничимся первым из них.

Ясно, что $%\vec{OK}=\frac12(\vec{OA}+\vec{OB})$%, $%\vec{OM}=\frac12(\vec{OC}+\vec{OD})$%, где $%O$% -- произвольная точка. Тогда $%\vec{KM}=\vec{OM}-\vec{OK}=\frac12(\vec{OC}+\vec{OD}-\vec{OA}-\vec{OB})=\frac12(\vec{AC}+\vec{BD})$%.

Рассмотрим скалярное произведение $%\vec{KM}\cdot\vec{AB}=\frac12(\vec{AC}+\vec{BD})\cdot\vec{AB}$% и докажем, что оно равно нулю. Это можно сделать на основании определения, рассматривая правильные треугольники $%ABC$% и $%ABD$%. Ясно, что $%\vec{BD}\cdot\vec{AB}=-\vec{BD}\cdot\vec{BA}$%, и далее всё получается прямым вычислением или сравнением двух величин из соображений симметрии.

ссылка

отвечен 23 Сен '14 12:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×646
×184

задан
23 Сен '14 11:08

показан
373 раза

обновлен
23 Сен '14 12:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru