|
$$\begin{array}{l} {\text{В окружность радиуса }}\sqrt {19} {\text{ вписана ломаная }}ABC{\text{,}}\\ {\text{причём }}AB = 6 - \sqrt 2 {\text{, а }}BC = 3 + \sqrt 2 .{\text{ Из середины }}K\\ {\text{меньшей из двух дуг }}AC{\text{ опущен перпендикуляр }}KM\\ {\text{на хорду }}AB.{\text{ Найдите длину отрезка }}AM. \end{array}$$ задан 23 Сен '14 14:48 
Igore |
|
Пусть $%R=\sqrt{19}$%. По теореме синусов, $%AB=2R\sin\gamma$%, $%BC=2R\sin\alpha$%, где через $%\gamma$% и $%\alpha$% обозначены углы треугольника $%ABC$% при вершинах $%C$% и $%A$% соответственно. Дуга $%AC$%, которой принадлежит точка $%B$%, имеет угловую величину $%2(\alpha+\gamma)$%. Это меньше 180 градусов (причём существенно меньше), поэтому точка $%K$% является серединой именно этой дуги. Проверка здесь простая: ясно, что каждая из длин $%AB$%, $%BC$% меньше $%6 < R\sqrt2$%, то есть центральные углы обеих этих дуг меньше 90 градусов. Легко видеть, что $%AB > BC$%, и точка $%K$% лежит на дуге $%AB$%. Понятно, что $%AM=AK\cos\angle KAM$%. Последний из углов -- вписанный, и он опирается на дугу, угловая величина которой равна $%2\gamma-(\alpha+\gamma)=\gamma-\alpha$%, то есть $%AM=AK\cos\frac{\gamma-\alpha}2$%. При этом $%AK=2R\sin\frac{\gamma+\alpha}2$% по теореме синусов. Итого $%AM=2R\sin\frac{\gamma+\alpha}2\cos\frac{\gamma-\alpha}2=R(\sin\gamma+\sin\alpha)=\frac{AB+BC}2=\frac92$%. отвечен 23 Сен '14 17:42 
falcao $$\begin{array}{l} {\text{Красивое решение}}{\text{, спасибо! И во втором случае}}{\text{,}}\ {\text{когда }}C{\text{ лежит на меньшей дуге }}AB{\text{, получаем}}\ {\text{аналогично }}AM = \frac{{AB - BC}}{2} = \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}. \end{array}$$
(24 Сен '14 1:30)
Igore
Да, я не учёл ещё одного возможного расположения -- когда $%C$% выбирается на дуге $%AB$%. То есть тут два ответа будет. Мне в конце показалось, что раз ответ такой вид имеет, то его можно получить без тригонометрии. Скорее всего, это так, но я до конца не продумал, как это можно сделать. Там какое-то дополнительное построение напрашивается.
(24 Сен '14 1:39)
falcao
|