Пусть $%A=(a_{ij})$% - матрица $%n \times n$% такая, что $%a_{ii}=2, a_{ij}=1$%, когда $%|j-i|=1$% и $%a_{ij}=0$% в остальных случаях. Необходимо найти определитель матрицы $%A$%, выраженный через $%n$%, и доказать, что он верен при всех $%n$%.

задан 23 Сен '14 18:00

изменен 24 Сен '14 10:41

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%d_n$% -- значение определителя $%n$%-го порядка. Ясно, что $%d_1=2$%, $%d_2=2\cdot2-1\cdot1=3$%. Выведем рекуррентную формулу для этой последовательности. Положим $%n\ge3$% и рассмотрим разложение определителя по первой строке. Там всего два ненулевых числа. У первого из них, равного $%2$%, минор равен $%d_{n-1}$%. У второго, равного $%1$%, минор берётся со знаком минус. Он получается удалением первой строки и второго столбца. При этом первый столбец этого минора состоит из одной единицы и остальных нулей. Если по этому столбцу разложить минор, то он будет равен минору $%(n-2)$%-го порядка исходной матрицы, который получается удалением первых двух её строк и первых двух столбцов, то есть он равен $%d_{n-2}$%. Таким образом, мы приходим к формуле $%d_n=2d_{n-1}-d_{n-2}$% при $%n\ge3$%.

Вычисляя по этой формуле следующие числа, мы видим, что $%d_3=2\cdot3-2=4$%, $%d_4=2\cdot4-3=5$% и так далее. Это наводит нас на мысль, что $%d_n=n+1$%. Такая гипотеза легко доказывается методом математической индукции. Для начальных значений она проверена, поэтому мы можем предположить, что справедливость утверждений $%d_{n-2}=n-1$% и $%d_{n-1}=n$% уже установлена. Тогда по рекуррентной формуле у нас будет $%d_n=2d_{n-1}-d_{n-2}=2n-(n-1)=n+1$%, что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 23 Сен '14 20:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×845

задан
23 Сен '14 18:00

показан
300 раз

обновлен
23 Сен '14 20:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru