|
Для матрицы
характеристический полином получился $%p_B(\lambda)=(3-\lambda)^6$%, а $%\dim E_{3}=3$%. Стало быть, в жордановой матрице должно быть три клетки, а сумма их размеров равна шести. Я это дело записал как три ячейки, каждая размером два:
В ответе стоит другая матрица:
Это одно и то же, нет? Если нет, то как при нахождении жордановой матрицы из нескольких возможных вариантов выбирать правильный? задан 23 Сен '14 19:07 
Jochen |
|
Это не одно и то же. Жорданова нормальная форма единственна с точностью до перестановки жордановых блоков. Поэтому тип 3+2+1 отличается от типа 2+2+2. В данном случае недостаточно знать число слагаемых и общую сумму, так как вариантов получается два, и нужно сделать правильный выбор одного из них. Чтобы не считать всё до конца (есть способы, которые позволяют находить жорданову форму через построение жорданова базиса), можно опираться на следующий косвенный признак. Рассмотрим матрицу $%B=A-3E$%; все её собственные числа нулевые. Она будет равна нулю, если возвести её в степень, равную размеру матрицы. Но это число не будет наименьшим. Поэтому надо проверить, что $%B^2\ne0$%, а $%B^3=0$%. Значит, максимальный размер жордановой клетки равен трём. На самом деле, здесь достаточно только возведения в квадрат: это уже будет означать, что случай 2+2+2 не имеет места. При этом квадрат матрицы $%B$% оказался бы нулевым. отвечен 23 Сен '14 20:43 
falcao Т.е. в общем виде: если есть «неопределенность» (несколько возможных вариантов жордановой матрицы на основе известных алгебраических и геометрических кратностей), то нужно найти такую степень $%n$%, что начиная с которого все $%B^n$% будут равны нулю, так? И эта степень будет равна размеру самой большой жордановой ячейки? А если у нас будет несколько собственных значений, а не только одно, как в этом примере, что делать тогда? Так же возводить $%A-\lambda E$% в степень, и это даст максимальную ширину жордановой ячейки уже для собственного значения $%\lambda $%?
(23 Сен '14 20:51)
Jochen
@Jochen: если собственных значений имеется много, то жордановы клетки получаются небольшого размера, и там должно быть достаточно знания кратностей. В общем случае могут потребоваться какие-то более сильные средства -- например, для матрицы 7-го порядка с одинаковыми собственными числами нужно будет отличать случай 3+3+1 от 3+2+2. Ясно, что с увеличением размера трудности будут нарастать, но там уже ручного счёта может быть недостаточно, и такие примеры лучше решать на компьютере.
(23 Сен '14 21:17)
falcao
@falcao, понятно, спасибо за объяснение. На компьютере-то конечно лучше. Вот только компьютером на экзамене пользоваться не дают :) И вопрос вдогонку: может быть вы знаете какие-нибудь понятные описания и примеры того, как находить матрицу $%S$%, такую, что $%J=SAS^{-1}$%? А то в интернете что-то мало материала на эту тему, а у меня в учебнике не очень понятно объясняется.
(23 Сен '14 22:44)
Jochen
Да, я понимаю. Но задачи дают при этом такие, где можно без этого обойтись. Приличные объяснения того, как находить матрицу перехода, в Сети можно найти. Скажем, есть вот такой текст. Там всё делается на основе рассмотрения степеней матриц и нахождения ядер линейных операторов (проще говоря, решения однородных систем). Надо иметь в виду, что какого-то совсем лёгкого и очевидного способа для этого дела не имеется.
(24 Сен '14 1:17)
falcao
|
Насколько другая матрица? Вот эти диагональные блоки, которые вы выделили, могут стоять в любом порядке.К тому же всё ещё зависит от количества линейно независимых собственных векторов
@MathTrbl, дополнил вопрос фотографией, чтобы было понятно.