Построить окружность, касающуюся двух данных окружностей, причем одной из них данной в точке. Построить треугольник с помощью линейки и циркуля.

задан 23 Сен '14 20:08

10|600 символов нужно символов осталось
2

Какое-то вымученное решение получилось...

Я рассмотрю только случай, когда данная точка $%A$% на первой окружности лежит снаружи второй... и построим случай внешнего касания с обеими окружностями (как на рисунке)...
(Понятно, что если касательная в точке $%A$% пересекает вторую окружность, то возможен вариант внешнего касания... ну, и случай, когда точка лежит внутри второй окружности надо разбирать отдельно ...)

alt text

Обозначим радиусы первой и второй окружности через $%r$% и $%R$% соответственно, $%OQ=L,\;AQ=y,\; \angle AOQ=\alpha$%, а искомый радиус через $%x$%. По теореме косинусов $$BQ^2=OB^2+OQ^2-2\cdot OB\cdot OQ\cdot \cos\alpha$$ $$(R+x)^2=(r+x)^2+L^2-2\cdot (r+x)\cdot L\cdot \cos\alpha$$ $$2x(R-r+L\cdot \cos\alpha)=r^2+L^2-2\cdot r\cdot L\cdot \cos\alpha -R^2 $$ $$2x(R-r+L\cdot \cos\alpha)= y^2-R^2$$

Понятно, что отрезок длины $%m=(R-r+L\cdot \cos\alpha)$% построить нетрудно.... Строим отрезок длины $%z=\sqrt{y^2-R^2}$% как второй катет треугольника с соответствующей гипотенузой и первым катетом... Ну, и осталось построить диаметр искомой окружности $%d=2x$%, который удовлетворяет равенству $%d\cdot m = z^2$%, то есть $%z$% является средним геометрическим для $%d$% и $%m$% ...

alt text

ссылка

отвечен 23 Сен '14 23:59

изменен 24 Сен '14 0:07

1

@all_exist: тут есть более простое решение. Для рассмотренной Вами конфигурации, отложим отрезок $%AM$% на луче $%AO$%, равный радиусу окружности с центром $%Q$%. Тогда $%B$% равноудалена от $%M$% и $%Q$%, и её находим через серединный перпендикуляр.

(24 Сен '14 1:02) falcao

@falcao, дык, я же предупредил, что решение получилось вымученное ))) ... а до Вашего варианта я так и додумался... (((

(24 Сен '14 1:07) all_exist

@all_exist: зато Вы меня избавили от необходимости описывать все подслучаи :) Я собирался это сделать, но у меня одновременно открыто много вкладок, и я длинные объяснения обычно оставляю на потом.

(24 Сен '14 1:10) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,368

задан
23 Сен '14 20:08

показан
998 раз

обновлен
24 Сен '14 1:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru