ряды - Применение признака Коши и Даламбера

Да, можно установить такую связь.

Есть такое известное утверждение: если последовательность $%x_n$% стремится к нулю, то последовательность средних арифметических $%\frac{x_1+\cdots+x_n}n$% также стремится к нулю. В данном случае важно то, что обратное уже неверно, и контрпример строится легко: $%x_n=(-1)^n$%, в которой чередуются числа $%-1$% и $%1$%.

Рассмотрим теперь последовательность $%y_n=e^{x_n-1}$%, она не имеет предела. При этом последовательность $%\sqrt[n]{y_1\ldots y_n}=\exp(\frac{x_1+\cdots+x_n}n-1)$% стремится к числу $%\frac1e < 1$%. Полагая $%z_n=y_1\ldots y_n$%, мы получаем ряд с положительными членами $%z_1+z_2+\cdots+z_n+\cdots$%, сходимость которого доказывается при помощи признака Коши, но не доказывается при помощи признака Даламбера (отношение члена ряда к предыдущему пределом не обладает).

Даже если в формулировке признака Даламбера не требовать существование предела, а требовать лишь того, что верхний предел отношения строго меньше единицы, то для (сходящегося) ряда $%1+1+\frac12+\frac12+\cdots+\frac1{2^n}+\frac1{2^n}+\cdots$% признак Даламбера не будет применим, а признак Коши -- будет.

В другую сторону всё достаточно просто, потому что если ряд удовлетворяет признаку Даламбера, то можно прологарифмировать члены последовательности $%\frac{a_n}{a_{n-1}}$%, где $%a_0=1$% и применить тот факт о средних, о котором шла речь в начале. Тогда и для случая предела, и для случая верхнего предела одно будет следовать из другого. Таким образом, можно считать, что признак Коши в этом смысле сильнее.