Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа n справедливо неравенство: $$1+2+ 2^{2} +...+ 2^{n-1} = 2^{n} -1$$

задан 24 Сен '14 1:17

1

Это один из самых простых примеров такого сорта. Прибавьте к обеим частям $%2^n$% и упростите правую часть (это основной шаг).

(24 Сен '14 1:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Проверим базу индукции:
Положим, $%n = 1$%, тогда $%{2^0} = {2^1} - 1 \Leftrightarrow 1 = 1$% верно!
Возьмем такое целое число $%k > 1$% и предположим, что утверждение верно для $%n = k$%. Тогда по нашему предположению верно должно быть и утверждение: $%1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{k - 1}} = {2^k} - 1$%. Сделаем индукционный шаг $%k = k + 1$% и докажем, что выражение $%1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^k} = {2^{k + 1}} - 1 = 2 \cdot {2^k} - 1$% верно. Прибавим к обеим частям индукционного предположения число $%{2^k}$%, тогда получим:
$%1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{k - 1}} + {2^k} = {2^k} - 1 + {2^k} = 2 \cdot {2^k} - 1 = {2^{k + 1}} - 1$%. Тем самым мы доказали, что из $%k \to k + 1$%, следовательно на основе доказанного индукционного шага мы вправе заявить, что $%1 + 2 + {2^2} + \cdots + {2^{n - 1}} = {2^n} - 1$% справедливо при любых натуральных числах $%n \in N$%.

ссылка

отвечен 24 Сен '14 2:56

изменен 24 Сен '14 10:58

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×60

задан
24 Сен '14 1:17

показан
413 раз

обновлен
24 Сен '14 2:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru