|
Найти радиус окружности, вписанной в равнобокую трапецию с острым углом $%60$%, если радиус окружности, описанной около этой трапеции, равен $%12 \sqrt{7}$%. задан 24 Сен '14 11:09 
Vipz3 |
|
Пусть $%x$%, $%y$% -- длины меньшего и большего оснований. Продолжая боковые стороны до пересечения, получаем два равносторонних треугольника с этими сторонами. Боковые стороны оказываются равны $%y-x$%. По свойству описанного четырёхугольника, суммы длин противоположных сторон равны: $%x+y=2(y-x)$%, то есть $%y=3x$%. По теореме косинусов легко найти длину диагонали; она равна $%x\sqrt7$%. С другой стороны, по теореме синусов она равна $%2R\sin60^{\circ}=R\sqrt3$%. Сокращая на $%\sqrt7$%, имеем $%x=12\sqrt3$%. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, которая равна произведению боковой стороны $%2x$% на синус 60 градусов, то есть $%x\sqrt3$%. Поэтому $%h=36$% и $%r=18$%. отвечен 24 Сен '14 17:06 
falcao |