|
$%AD$% - биссектриса остроугольного треугольника $%ABC$%. Точка $%M$% на луче $%AB$% выбрана так, что угол $%MDA=ABC$%, а точка $%N$% на луче $%AC$% - так, что угол $%NDA=ACB$%. Обозначим пересечение прямых $%MN$% и $%AD$% за точку $%P$%. Покажите, что $%AD^3=AP×AB×AC$%. задан 24 Сен '14 12:19 
Lackawanna |
|
Из условия следует, что $%MDA$% подобен $%DBA$% по двум углам, откуда $%DA:AM=AB:AD$%.Аналогично, $%NDA$% подобен $%DCA$%, и $%DA:AN=AC:AD$%. Из этих равенств следует, что $%AD^2=AB\cdot AM=AC\cdot AN$%. Теперь обратим внимание на то, что сумма углов при вершинах $%A$% и $%D$% у четырёхугольника $%AMDN$% по построению равна сумме углов треугольника $%ABC$%. Отсюда следует, что около $%AMDN$% можно описать окружность, и вписанные углы $%NDA$%, $%NMA$% равны. Поэтому $%NDA$% будет подобен $%PMA$% по двум углам: про одну пару равных углов только что было сказано, а другая получается за счёт того, что $%AD$% -- биссектриса. Тогда можно составить пропорцию $%AN:AD=AP:AM$%, из которой $%AM\cdot AN=AP\cdot AD$%. Теперь осталось разделить равенство $%AD^4=AB\cdot AC\cdot AM\cdot AN=AB\cdot AC\cdot AP\cdot AD$% сократить на $%AD$%. отвечен 25 Сен '14 4:12 
falcao |