делимость - Как найти числа?

Положим $%s=a+b$%, $%p=ab$%. Сумма кубов выражается как $%a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=s(s^2-3p)$%. Тогда по условию $%s^3-3sp+p$% делится на $%ps\ne0$%. Делимое здесь кратно как $%s$%, так и $%p$%, откуда $%p$% делится на $%s$%, а $%s^3$% делится на $%p$%.

Полагая $%p=sk$%, подставим это значение в условие делимости, сокращая на $%s\ne0$%. Получится, что $%s^2-3sk+k$% кратно $%sk$%, поэтому $%k$% делится на $%s$%. Полагая $%k=sl$%, делаем то же самое, имея при этом, что $%s-3sl+l$% кратно $%sl$%. Это снова означает, что $%l$% кратно $%s$%, откуда $%l=sm$%, то есть $%p=s^3m$% делится на $%s^3$%. Ввиду того, что $%s^3$% делится на $%p$%, справедливо равенство $%p=\pm s^3$%.

Если $%p=s^3$%, то $%2s^3-3s^4$% делится на $%s^4$%, то есть $%2$% делится на $%s$%. Следовательно, $%s\in\{\pm1;\pm2\}$%. При $%s=a+b=\pm1$% слагаемые имеют разную чётность, и $%p=ab$% оказывается чётным. Такой случай невозможен. Если $%s=a+b=2$%, то $%p=ab=8$%, и таких чисел не имеется даже в действительной области ввиду отрицательности дискриминанта квадратного уравнения $%x^2-sx+p=0$%. При $%s=-2$% это уравнение имеет вид $%x^2+2x-8=0$%, и его корнями будут числа $%2$% и $%-4$%, что даёт два симметричных решения $%(2;-4)$%, $%(-4;2)$% для пары $%(a;b)$%.

Рассмотрим второй случай, когда $%p=-s^3$%. Делимое имеет вид $%-3sp$%, поэтому всегда делится на $%ps$%. Значит, это условие будет достаточным. Квадратное уравнение, корнями которого являются $%a$% и $%b$%, имеет вид $%x^2-sx-s^3=0$%. Дискриминант равен $%D=s^2(1+4s)$%, и тогда с учётом $%s\ne0$% число $%1+4s$% является точным квадратом ввиду того, что корни рациональны. Его можно представить в виде квадрата нечётного натурального числа $%2d+1$%, что приводит к равенству $%s=d(d+1)$%, где $%d\ge1$%. Корни квадратного уравнения при этом равны $%d(d+1)^2$% и $%-d^2(d+1)$%, что приводит к двум бесконечным сериям решений: $%\{(4;-2),(18;-12),(48;-36),(100;-80),\ldots\}$% и симметричной серии, получаемой перестановкой элементов пар.