Насколько я понял, все элементы такой матрицы, кроме диагональных, должны быть равны нулю, но я не совсем понимаю, как это оформлять, возникают трудности.

задан 24 Сен '14 12:29

изменен 25 Сен '14 13:19

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Leva319, все элементы такой матрицы, кроме диагональных, должны быть равны нулю - этого мало... диагональные элементы должны быть ещё равны друг другу...

(24 Сен '14 12:43) all_exist

Как это доказать?

(24 Сен '14 13:07) Leva319
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим матричные единицы $%e_{ij}$%, то есть такие матрицы, у которых на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца находится число $%1$%, а все остальные элементы равны $%0$%. Они образуют базис в линейном пространстве матриц. Поэтому необходимо и достаточно описать матрицы, коммутирующие с каждым таким базисным элементом.

Произведение матричных единиц производится по простому правилу: $%e_{ij}e_{km}=0$% при $%j\ne k$% и $%e_{ij}e_{jm}=e_{im}$%. Рассмотрим произвольную матрицу $%A=\sum a_{ij}e_{ij}$% и произвольную матричную единицу $%e_{km}$%. Сравним два произведения: $%Ae_{km}=\sum_ia_{ik}e_{im}$% и $%e_{km}A=\sum_ja_{mj}e_{kj}$%. У первой матрицы все элементы, не входящие в $%m$%-й столбец, равны нулю. У второй равны нулю все элементы, не входящие в $%k$%-ю строку. Следовательно, $%a_{ik}=0$% при $%i\ne k$%. Индексы выбирались произвольно, откуда следует, что матрица $%A$% диагональна. При этом нулевые слагаемые в суммах исчезают, и $%Ae_{km}=a_{kk}e_{km}$% и $%e_{km}A=a_{mm}e_{km}$%. Получается, что $%a_{kk}=a_{mm}$% для всех $%k$%, $%m$%, то есть матрица является скалярной: $%A=\lambda E$% для некоторого скаляра $%\lambda$%.

Добавление. Для иллюстрации:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}=a_{11}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{12}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{21}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}+a_{22}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},$$ то есть $%A=a_{11}e_{11}+a_{12}e_{12}+a_{21}e_{21}+a_{22}e_{22}$%.

ссылка

отвечен 24 Сен '14 15:20

изменен 24 Сен '14 23:34

Что такое базис в линейном пространстве матриц?

Почему Еij * Ekm = 0? Ведь такое произведение определенно только когда j = k.

(24 Сен '14 22:41) Leva319

@Leva319: через $%e_{ij}$% обозначены матрицы одного и того же фиксированного размера $%n\times n$%. Их определение дано в тексте. Это матрицы, в которых один элемент равен 1, а остальные нули. Числа $%i,j$% указывают лишь место нахождения единицы, и перемножать их можно всегда -- как и любые квадратные матрицы $%n$%-го порядка.

Определение базиса можно прочитать в учебниках, но здесь оно как таковое не нужно. Имеется в виду, что матрицу можно однозначно представить в виде суммы матричных единиц с коэффициентами. По сути это мало чем отличается от $%(1,2,3,4)=e_1+2e_2+3e_3+4e_4$%.

(24 Сен '14 22:53) falcao

Имеется в виду, что МАТРИЦУ* можно однозначно представить в виде суммы матричных единиц с коэффициентами

Какую матрицу? Произвольную? Если да, то почему это так? Ведь складывая матричные единицы, помноженные на какие угодно коэффициенты, мы получим матрицу, у которой ненулевые элементы будут в диагонали, и то не всегда.

(24 Сен '14 23:22) Leva319

@Leva319: речь идёт о совершенно очевидном факте. Вы, вероятно, не так поняли определение. Давайте я в добавлении напишу равенство для $%n=2$%, из которого идея станет сразу ясна.

(24 Сен '14 23:31) falcao

Аааааааааа, понял, я просто перепутал матричные единицы и единичную матрицу.

(24 Сен '14 23:33) Leva319

@Leva319: вот, я "хотел как лучше", то есть ввёл один из терминов, который часто употребляется в этом контексте. Можно было бы его не использовать, а ограничиться обозначениями. Я не думал, что может возникнуть такого рода путаница: у меня эти два понятия находятся в разных "уголках" сознания. Тем более, что матричных единиц много ($%n^2$%), а единичная матрица всего одна. При этом "получилось как всегда", как любил говорить мой тёзка :)

(24 Сен '14 23:38) falcao

Итак, спасибо, я уловил, что ЛЮБУЮ матрицу можно представить в виде суммы матричных единиц, помноженных на какие-то коэффициенты, это я понял.

Поэтому необходимо и достаточно описать матрицы, коммутирующие с каждым таким базисным элементом.

Т.е. если какая-то матрица коммутирует с каждым элементом представления А через сумму матричных единиц, то она коммутирует и с А? Почему это верно?

(24 Сен '14 23:50) Leva319

Это ещё одно совершенно общее и простое соображение. Если матрица A коммутирует со всеми матрицами, то она коммутирует и с матричными единицами, как частный случай. Обратно: если она коммутирует с матричными единицами, то она коммутирует со всеми линейными комбинациями таких матриц, а это все матрицы.

На самом деле, можно это не анализировать, так как в качестве необходимого условия коммутирования получаются скалярные матрицы, а они пропорциональны единичной, и этого достаточно для коммутирования с чем угодно.

(25 Сен '14 0:00) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Уважаемый Falcao, спасибо за решения, но вопросы остаются. Вот, логика решения такой, какой я ее понял

  1. Берем произвольную матрицу А
  2. Берем произвольную матричную единицу Ekm
  3. Сравниваем А*Еkm и Ekm * A
  4. Из пункта 3 приходим к выводу: A коммутативно Ekm тогда и только тогда, когда А - скалярная матрица. Более общий вывод: какая-то матрица коммутативна произвольной единичной матрице тогда и только тогда, когда исходная матрица - скалярная
  5. Вывод пункта 4 мы усиливаем: заменяя произвольную единичную матрицу на произвольную единичную матрицу помноженную на произвольное число
  6. Пусть дана произвольная матрица В, тогда она коммутативна А, тогда и только тогда, когда А - скалярная матрица, т.к. В представимо в виде суммы единичных матриц умноженных на числа, а А в таком случае коммутативно каждому слагаемому, а значит что А коммутативно и самому В

Правильно ли я все понял?

И почему в 6ом пункте выделенное жирным - верно

ссылка

отвечен 25 Сен '14 0:45

Нет, это не совсем точно. Во-первых, не надо всё-таки путать матричные единицы (их много) и единичную матрицу (она для данного размера одна). Во вторых, про матрицу не говорят, что она коммутативна чему-то. Принято говорить, что она коммутирует с чем-то. Это разные термины.

Теперь по сути. Вывод пункта 4 неточен. Из условия, что $%Ae_{km}=e_{km}A$%, взятого для конкретных $%k,m$%, мы можем сделать только более слабый вывод от том, что $%a_{ik}=0$% при всех $%i\ne k$%, то есть $%k$%-й столбец нулевой, не считая $%a_{kk}$%. Но тогда таков и 1-й столбец, и 2-й, и остальные; матрица диагональна.

(25 Сен '14 1:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×277

задан
24 Сен '14 12:29

показан
1468 раз

обновлен
25 Сен '14 1:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru