Как доказать делимость?

Докажем, что $%p(1)+p(2)+\cdots+p(10^m)=46^m$% для всех натуральных $%m$%. Отсюда будет следовать, что сумма делится на квадрат нечётного простого числа $%23$%.

Удобно положить $%p(0)=1$% (это произведение элементов пустого множества чисел подобно $%10^0$% или $%0!$%), заменяя последнее слагаемое $%p(10^m)=1$% на $%p(0)$%. Тогда сумма $%s_m=p(0)+p(1)+p(2)+\cdots+p(10^m-1)$% при $%m=1$% равна $%1+(1+2+\cdots+9)=46$%, и достаточно доказать, что она каждый раз умножается на $%46$%, то есть $%s_{m+1}=46s_m$% для всех натуральных $%m$%.

Слагаемые вида $%p(k)$% суммы $%s_{m+1}$% сгруппируем по последней десятичной цифре в записи числа $%k$%. Пусть $%a$% -- последняя цифра. Тогда при $%a=0$% эта цифра в произведениях не учитывается, и сумма таких слагаемых равна предыдущей, то есть $%s_m$%. Если же $%a$% -- цифра от $%1$% до $%9$%, то на неё домножается каждое слагаемое предыдущей суммы и получается $%as_m$%. Всё вместе даёт $%s_{m+1}=s_m(1+1+2+\cdots+9)=46s_m$%.