Надо рассказать и про решения системы нелинейных Диофантовых уравнений

$$\left\{\begin{aligned}&a^2+b^2=c^2\\&(a+k)^2+(b+k)^2=q^2\end{aligned}\right.$$

Решения имеют вид.

$$a=p(2s-p)$$

$$b=2s(p-s)$$

$$k=p^2+2s^2$$

$$c=p^2-2ps+2s^2$$

$$q=p^2+2ps+2s^2$$

Или например такую систему.

$$\left\{\begin{aligned}&a^2+ab+b^2=c^2\\&(a+k)^2+(a+k)(b+k)+(b+k)^2=q^2\end{aligned}\right.$$

Решения имеют вид :

$$a=2s^2-2p^2$$

$$b=4ps-2s^2$$

$$c=2p^2-2ps+2s^2$$

$$k=p^2+2s^2$$

$$q=p^2+2ps+4s^2$$

Или же можно записать такое.

$$a=s^2-4p^2$$

$$b=4ps-s^2$$

$$c=4p^2-2ps+s^2$$

$$k=2p^2+s^2$$

$$q=2p^2+2ps+2s^2$$

Можно написать и систему с коэффициентами:

$$\left\{\begin{aligned}&aX^2+bY^2=cZ^2\\&a(X+k)^2+b(Y+k)^2=cR^2\end{aligned}\right.$$

Если такой корень целый $%\sqrt{c(a+b)}$% решения имеют вид.

$$X=(a+b)(a+b-c)(c\pm\sqrt{c(a+b)})p^2-2b(a+b-c)ps\sqrt{c(a+b)}+ba(c\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$$

$$Y=(a+b)(a+b-c)(c\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+2a(a+b-c)ps\sqrt{c(a+b)}+ba(c\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$$

$$Z=(a+b)(a+b-c)(a+b\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+ba(a+b\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$$

$$k=-2(c(a+b-c)(a+b)p^2+cbas^2)$$

$$R=(a+b)(a+b-c)(-(a+b)\pm\sqrt{c(a+b)})p^2+ba(-(a+b)\mp\sqrt{c(a+b)})s^2$$

Если же этот корень целый $%q=\sqrt{ab(a+b)(c-a-b)}$% Тогда решения имеют вид:

$$X=((a+b-c)b\pm{q})p^2+2cqps+c(a+b)((c-a-b)b\pm{q})s^2$$

$$Y=((c-a-b)a\pm{q})p^2+2cqps+c(a+b)((a+b-c)a\pm{q})s^2$$

$$k=-4qcps$$

$$Z=\pm{q}p^2+2q(a+b)ps\pm{q}(a+b)cs^2$$

$$R=\pm{q}p^2-2q(a+b)ps\pm{q}(a+b)cs^2$$

$%p,s$% - любые целые числа задаваемые нами.

Эта система уравнений рассматривалась, правда чуть в другом виде даже Эйлером. Некоторый взгляд на решение данной системы был там. Но не ответили.

Выглядит она так.

$$ \left\{\begin{aligned}&x^2-y^2+z^2-t^2+q^2-u^2=0\\&xy+zt-qu=0\end{aligned}\right. $$

$%a,b,n,k $% - решения задаются целыми числами. Для облегчения расчётов сделаем замену :

$$ p=a^2-3b^2 $$

$$s=2ab-4b^2 $$

$$j=3b^2-4ab+a^2 $$

Тогда решения имеют вид:

$$x=(j(p^2-4ps+3s^2)-(p-s)(3p^2-4ps+s^2))k^2+2(j-2(p-s))(p-s)kn+(j-p+s)n^2 $$

$$y=(p-s)(4j(p-s)-3p^2+4ps-s^2)k^2+2(p-s)(j-2(p-s))kn-(p-s)n^2 $$

$$z=(j(p^2-4ps+3s^2)+s(3p^2-4ps+s^2))k^2+2(p-s)(2s+j)kn+(j+s)n^2 $$

$$t=(j(p+s)-3p^2+4ps-s^2)(p-s)k^2+2(jp-2(p-s)^2)kn+(j-p+s)n^2 $$

$$q=(j(5p^2-8ps+3s^2)-(p-s)(3p^2-4ps+s^2))k^2+2(j(2p-s)-2(p-s)^2)kn+(j-p+s)n^2 $$

$$u=(j(p^2-4ps+3s^2)+(2s-p)(3p^2-4ps+s^2))k^2+2(p-s)(j+2(2s-p))kn+(j+2s-p)n^2 $$

А вот ниже приведённая система довольно знаменитая, её решал Эйлер и несколько раз к ней возрашался: Смысл простой, найти такие 4 числа чтоб любая их сумма есть квадрат. Написать формулу решения этой системы.

$$\left\{\begin{aligned}& b+a=x^2 \\&b+c=y^2\\&b+f=z^2\\&a+c=e^2\\&a+f=j^2\\&c+f=p^2\end{aligned}\right. $$

Решения задаются: $%F,T,R,D$% - любыми целыми числами любого знака. Чтоб формула выглядела проще сделаем замену.

$$ q=(8F^2+4FT-T^2)R^2+2(T+2F)RD-D^2 $$

$$ k=(8F^2+8FT+2T^2)R^2+2(T+2F)RD $$

$$ s=-T^2R^2+2(T+2F)RD-D^2 $$

$$ t=(8F^2+12TF+3T^2)R^2+2(T+2F)DR-D^2 $$

Тогда формула выглядит так:

$$x=s^2+k^2-t^2+2(t-k-s)q $$

$$y=t^2+k^2-s^2+2ks-2tk $$

$$ z=s^2+k^2-t^2 $$

$$ e=t^2+k^2+s^2-2kt-2ts $$

$$ j=t^2+s^2-k^2+2ks-2ts $$

$$ p=3s^2+3k^2+3t^2-6kt-6st+8ks+2(t-k-s)q $$

$$ b=\frac{x^2+y^2-e^2}{2} $$

$$a=\frac{e^2+x^2-y^2}{2} $$

$$ c=\frac{e^2+y^2-x^2}{2} $$

$$ f=\frac{2z^2+e^2-x^2-y^2}{2} $$

задан 24 Сен '14 13:20

изменен 24 Сен '14 13:41

На форуме есть такая рубрика как "Исследования". Возможно, Ваши выкладки более уместно размещать там. В рубрике "Вопросы" люди обычно что-то спрашивают.

(24 Сен '14 15:49) falcao

@falcao Так я там и разместил. Ответы и вопросы по теме таким образом рисуются. Автоматически переводится почему то на вопросы.

(24 Сен '14 16:14) Individ

@Individ: я посмотрел в Профиле -- у Вас часть записей попала туда, а часть почему-то в Вопросы. К сожалению, я не знаю, как это регулируется.

(24 Сен '14 17:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Так ещё одна система! В этой системе коэффициенты: $% c,d $% - задаются нами.

$$ \left\{\begin{aligned}&x^2+(qx-ct)y+y^2=z^2\\&x^2-(qx-ct)y+y^2=u^2\end{aligned}\right. $$

Решения имеют вид:

$$ x=c(a^2s^2+p^2b^2-2s^2b^2)(p^2-s^2)b $$

$$ t=(p^2-s^2)((qs^2-2ps)a^2+2(p^2-s^2)ab+(qp^2+2ps-2qs^2)b^2)b $$

$$ y=c(a^2s^2+b^2p^2-2b^2s^2)(qs^2-2ps)b-c((qs^2-2ps)a^2+2(p^2-s^2)ab+(qp^2+2ps-2qs^2)b^2)bs^2 $$

$$ z=c(s^2-qps+p^2)(a^2s^2+p^2b^2-2s^2b^2)b+c((qs^2-2ps)a^2+2(p^2-s^2)ab+(qp^2+2ps-2qs^2)b^2)bps $$

$$ u=c((p^2-s^2)b+(qs^2-2ps)a)(a^2s^2+p^2b^2-2s^2b^2)-c((qs^2-2ps)a^2+2(p^2-s^2)ab+(qp^2+2ps-2qs^2)b^2)as^2 $$

$% a,b,p,s $% - целые числа задаваемые нами.

Ещё одна система уравнений:

$$ \left\{\begin{aligned}&x+y+z=a+b\\&x^2+y^2+z^2=a^2+b^2\end{aligned}\right. $$

Решения можно записать.

$$ x=t+qk+qt+k $$

$$ y=t $$

$$ z=qk $$

$$ a=t+qk+k $$

$$ b=t+qk+qt $$

Или же такое:

$$ z=kq $$

$$ y=(k+q+t)^2 $$

$$ x=t^2+kq+tk+qt $$

$$ a=k^2+2qk+t^2+qt+2kt $$

$$ b=q^2+2qk+t^2+2qt+kt $$

$% k,t,q $% - целые числа задаваемые нами.

Система Диофантовых уравнений:

$$ \left\{\begin{aligned}& xy+xt=z^2\\&xy+yt=q^2\end{aligned}\right. $$

Решения имеют такой вид:

$$ x=5p^2+30ps+45s^2 $$

$$ y=p^2+10ps+25s^2 $$

$$ t=4p^2+30ps+55s^2 $$

$$ z=5p^2+35ps+60s^2 $$

$$ q=3p^2+25ps+50s^2 $$

И ещё такое решение:

$$ x=5s^2 $$

$$ y=4p^2+20ps+25s^2 $$

$$ t=p^2-5s^2 $$

$$ z=5ps+10s^2 $$

$$ q=2p^2+5ps $$

Есть такая задачка когда ищут решения при: $% t=1 $% Легко видно, что решения определяются решениями уравнения Пелля: $% p^2-5s^2=1 $% Его решения нужно подставить в формулу.

Довольно красивая система:

$$ \left\{\begin{aligned}&x^2+y^2+z^2+q^2=R^2\\&xy+xz+xq+yz+yq+zq=W^2\end{aligned}\right. $$

$% t,k,p $% - решения задаются этими целыми числами. Чтоб формулы выглядела более компактно сделаем замену.

$$ b=t^2-k^2-3p^2+2kp $$

$$ s=t^2-k^2-3p^2+5kp-4tp $$

$$ a=2t^2+k^2-6p^2+4kp-4tk $$

Тогда решения уравнения можно записать.

$$ x=2bs $$

$$ y=2as $$

$$ q=2s(2s-b-a) $$

$$ z=2(b-s)^2+2(a-s)^2-s^2+2ab $$

$$ R=2(b-s)^2+2(a-s)^2+s^2+2ab $$

$$ W=2s(2t^2+2k^2+6p^2-4kp-3tk) $$

ссылка

отвечен 25 Сен '14 17:36

изменен 25 Сен '14 17:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×630
×111

задан
24 Сен '14 13:20

показан
740 раз

обновлен
25 Сен '14 17:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru