$$cos(\frac {x}{2}+\frac {\pi}{4})sin(\frac {5x}{2}-\frac {\pi}{4})=-cos2x$$

задан 24 Сен '14 14:00

изменен 25 Сен '14 13:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Удваиваем обе части, представляя далее значение левой части в виде суммы синусов. Получится $%\sin3x+\sin(2x-\pi/2)+2\cos2x=0$%, что упрощается до $%\sin3x+\cos2x=0$%. Оба слагаемых выражаются через $%t=\sin x$% по известным формулам: $%(3t-4t^3)+(1-2t^2)=0$%. Получается кубическое уравнение $%4t^3+2t^2-3t-1=0$%, у которого корень $%t=-1$% легко найти подбором. После разложения на множители будет $%(t+1)(4t^2-2t-1)=0$%. У квадратного уравнения корни равны $%t=\frac{1\pm\sqrt5}4$%, и они оба соответствуют значениям синуса. Далее выписываем три серии решений по стандартным формулам.

ссылка

отвечен 24 Сен '14 16:12

sin(2x−π/2)=sin2xcosπ/2+sinπ/2cos2x
cosπ/2=0 sinπ/2=1 => sin(2x−π/2)=cos2x
Так?
Откуда sin3x+cos2x=0?

(25 Сен '14 1:09) Nastya94

@Nastya94: Вы взяли синус РАЗНОСТИ, и он равен разности, а не сумме. У второго слагаемого должен быть знак "минус". Поэтому получится $%-\cos2x$%, и вместе с $%2\cos2x$% он даст то, что написано.

Вообще, тут лучше использовать более простую формулу приведения, согласно которой $%\sin(t-\pi/2)=-\cos t$%. Это следует из свойств поворота на -90 градусов.

(25 Сен '14 1:17) falcao
2

Если уравнение sin3x+cos2x=0 представить в виде cos(pi/2+3x)=cos2x и применить условие равенства косинусов двух аргументов, то получится две вполне приличные серии решений: -pi/2+2pik и -pi/10+2pik/5

(25 Сен '14 10:08) nynko

@nynko: да, в таком виде решения выглядят лучше. У меня по виду ответа было какое-то подозрение, что серии получаются не какие попало, и что возможна другая форма записи ответа (скажем, через тангенс чего-то). Но я эту мысль далее не стал развивать.

(25 Сен '14 11:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×947
×931

задан
24 Сен '14 14:00

показан
900 раз

обновлен
25 Сен '14 11:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru