Пусть $$a^{[n]}=a(a-h)...[a-(n-1)h]$$ и $$a^{[0]}=1.$$ Доказать, что
$$(a+b)^{[n]}=\sum_x^nC^{m}_{n}a^{[n-m]} b^{[m]}$$

вместо $%x$%, стоит $%m=0$%, почему-то не получилось ввести в формуле, где $%C^{m}_{n}$% - число сочетаний из $%n$% элементов по $%m$%. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона.

задан 24 Сен '14 16:38

изменен 25 Сен '14 13:36

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

@Tiki_6O: биномиальная формула выводится отсюда сразу же, как частный случай предыдущей формулы при $%h=0$%. Правильно ли я понимаю, что здесь рассматривается некое обобщение известного тождества, и способ доказательства может быть чисто техническим, то есть основанным на методе математической индукции? Если да, то можно привести соответствующие вычисления. Там всё должно сойтись. Я просто думал над каким-то более красивым вариантом доказательства, но пока ничего в голову не пришло.

(24 Сен '14 17:39) falcao

А как действовать? если немного упростить, то есть БЕЗ КВАДРАТНЫХ СКОБОК, вместо них обычные? Да, нужно методом математической индукции. Пока ничего не понимаю, условие m=0, получается у нас слева нет b, b=1?

(24 Сен '14 18:13) Snaut
1

@Tiki_6O: при помощи индукции всё доказывается легко, но сейчас я уже не успеваю написать. Завтра изложу.

(25 Сен '14 3:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%n=1$% получается верное равенство $%a+b=a+b$%. Оно следует из того, что $%x^{[1]}=x$% для любого числа $%x$% по определению.

Предположим, что равенство уже доказано при некотором $%n=k$%. Тогда мы знаем, что $%(a+b)^{[k]}=\sum\limits_{m=0}^kC_k^ma^{[k-m]}b^{[m]}$%. Требуется доказать равенство при $%n=k+1$%.

Заметим, что в силу определения $%(a+b)^{[k+1]}$% получается из $%(a+b)^{[k]}$% домножением на $%a+b-kh$%. Значит, надо каждое слагаемое предыдущей суммы домножить на эту величину: $%(a+b)^{[k+1]}=\sum\limits_{m=0}^kC_k^ma^{[k-m]}b^{[m]}(a+b-kh)$%. При фиксированном $%m$% от $%0$% до $%k$% у нас имеется произведение, в котором последний сомножитель можно записать как сумму двух слагаемых: $%a+b-kh=(a-(k-m)h)+(b-mh)$%. При домножении на каждое из них по отдельности у нас получится следующее: $%a^{[k-m]}(a-(k-m)h=a^{[k-m+1]}$%, а также $%b^{[m]}(b-mh)=b^{[m+1]}$%. Поэтому мы получим выражение, равное $%C_k^ma^{[k-m+1]}b^{[m]}+C_k^ma^{[k-m]}b^{[m+1]}$%. Эти выражения надо просуммировать по $%m$% в пределах от $%0$% до $%k$%.

Для ясности запишем обе суммы в развёрнутом виде. Первая из них будет равна $$C_k^0a^{[k+1]}b^{[0]}+C_k^1a^{[k]}b^{[1]}+\cdots+C_k^ka^{[1]}b^{[k]},$$ а вторая равна $$C_k^0a^{[k]}b^{[1]}+C_k^1a^{[k-1]}b^{[2]}+\cdots+C_k^ka^{[0]}b^{[k+1]}.$$ Приводя подобные члены, мы получим $$a^{[k+1]}b^{[0]}+(C_k^0+C_k^1)a^{[k]}b^{[1]}+(C_k^1+C_k^2)a^{[k-1]}b^{[2]}\cdots+(C_k^{k-1}+C_k^k)a^{[1]}b^{[k]}+a^{[0]}b^{[k+1]},$$ и теперь остаётся сослаться на известное тождество $%C_k^{i-1}+C_k^i=C_{k+1}^i$%, верное для всех $%1\le i\le k$%, отражающее способ построения треугольника Паскаля. В итоге получается, что $$(a+b)^{[k+1]}=a^{[k+1]}b^{[0]}+C_{k+1}^1a^{[k]}b^{[1]}+C_{k+1}^2a^{[k-1]}b^{[2]}\cdots+C_{k+1}^ka^{[1]}b^{[k]}+a^{[0]}b^{[k+1]},$$ что и требовалось доказать.

ссылка

отвечен 25 Сен '14 17:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×62

задан
24 Сен '14 16:38

показан
612 раз

обновлен
25 Сен '14 17:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru