Делимость многочленов

Здесь надо знать, какие остатки получаются от деления на многочлен $%x^2-x+1$% степеней переменной $%x$%. Прежде всего, $%x^3+1$% делится на $%x^2-x+1$%, поэтому для $%x^3$% остаток будет равен $%-1$%. Это значит, что при нахождении остатков можно всюду в алгебраических выражениях заменять $%x^3$% на $%-1$%. Для данного примера после таких замен получится $%(-1)^m-(-1)^nx+(-1)^kx^2$%. Также $%x^2$% заменяем на $%x-1$%, потому что остатки от деления на $%x^2-x+1$% у них одинаковы.

В результате возникает многочлен $%(-1)^m-(-1)^k+x((-1)^k-(-1)^n)$%. Чтобы имела место делимость, он должен быть тождественно равен нулю, то есть $%(-1)^k=(-1)^m=(-1)^n$%. Последнее означает, что целые неотрицательные числа $%k$%, $%m$%, $%n$% должны быть одной и той же чётности (все чётны, или все нечётны).