математический-анализ - Вычислить предел

В первом примере после логарифмирования получается $%(2x+1)\ln(1+\frac{5}{x-2})$%, где под знаком логарифма выделили слагаемое, равное единице. Второе слагаемое является бесконечно малой величиной, то есть стремится к нулю при $%x\to\infty$%. Следует использовать такой стандартный факт, что $%\ln t\sim1+t$% для малых значений $%t$%. Это значит, что предел частного равен $%1$% при $%t\to0$%. Сам этот факт эквивалетнен тому, что называется вторым замечательным пределом.

Таким образом, логарифм здесь можно просто заменить на $%t=\frac5{x-2}$%. Формально мы пишем $%\ln(1+t)=t\cdot\frac{\ln(1+t)}t$% и пользуемся тем, что последний сомножитель стремится к единице, ссылаясь на теорему о пределе произведения.

Таким образом, предел логарифма исследуемой функции равен пределу функции $%\frac{5(2x+1)}{x-2}$%, что стремится к $%10$% при $%x\to\infty$%. Значит, с учётом замечания из условия, ответом будет $%e^{10}$%.

2) Здесь применяется тот же приём, и после логарифмирования получается $%\frac1{x^2}\ln\cos x$%. Как и выше, надо искусственно представить выражение под знаком логарифма в виде $%1+t$%. Это можно сделать всегда, просто вычитая единицу: $%t=\cos x-1$%. Важно то, что $%t\to0$% при $%x\to0$%.

Теперь надо понять, с какой "скоростью" стремится к нулю эта величина. Из формул тригонометрии легко следует, что $%t=\cos x-1=-2\sin^2\frac{x}2\sim-2(\frac{x}2)^2=-\frac{x^2}2$% теперь уже в силу первого замечательного предела. Значит, $%\frac1{x^2}\ln\cos x\sim-\frac12$%, и в ответе получится $%e^{-1/2}$%.

Полезный факт, получаемый как следствие первого замечательного предела, состоит в том, что $%\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$%. Его имеет смысл запомнить, применяя при решении такого рода задач.

3) Здесь разность логарифмов равна логарифму частного, и мы выделяем $%1$% в качестве слагаемого: $%\ln(2+x)-\ln x=\ln(1+\frac2x)\sim\frac2x$% (не забывая о проверке того, что данная величина стремится к нулю). После домножения на $%x$% и перехода к пределу получится число $%2$%.

В литературе по матанализу всё это, конечно, описано во многих местах. Но проще обратить внимание на те вещи, которые надо использовать, нежели искать подходящие ссылки.