геометрия - Как найти площадь треугольника?

Здесь можно использовать сравнение площадей треугольников с одинаковой длиной высоты: отношение площадей будет равно отношению оснований.

Разделим трапецию любой из диагоналей на два треугольника. Высоты одинаковы, а основания относятся как 2:1. Значит, и площади относятся так же, а поскольку в сумме они дают 27, то это 18 и 9.

Теперь сравним площади треугольников $%ACD$% (она равна 18) и $%AND$%. Высоты снова одинаковые, а отношение оснований равно $%DN:DC=2:3$%. Значит, площадь второго из треугольников равна $%\frac23\cdot18=12$%.

Теперь для нахождения площади $%AOD$% достаточно знать отношение $%AO:ON$%. Докажем, что $%AO=ON$%, откуда будет следовать, что площади $%AOD$% и $%NOD$% одинаковые. Вместе они дают $%12$%, и тогда в ответе будет $%6$%.

Один из способов найти это отношение -- это использование дополнительных построений, приводящих к появлению подобных треугольников. (Есть также общие теоремы на этот счёт, но это более сложно.) Прежде всего, достроим трапецию до треугольника, проводя лучи $%AB$% и $%DC$% до их пересечения в точке $%P$%. Ясно, что $%BC=\frac12AD$% -- это средняя линия треугольника $%APD$%. Исходя из этого, полагаем $%CN=x$%; тогда $%ND=2x$%, $%PC=CD=3x$%, откуда $%DN:DP=1:3$%. Теперь для другой из сторон полагаем $%AM=y$%; тогда $%MB=y$%, $%PB=BA=2y$%, $%PM=3y$%.

Проведём через точку $%N$% прямую, параллельную $%AB$%, пересекающую $%DM$% в точке $%K$%. Получаются подобные треугольники $%DNK$% и $%DPM$%, из которых $%NK:PM=DN:DP=1:3$%. Следовательно, $%NK=PM/3=y$%.

Теперь обратим внимание на подобные треугольники $%OAM$% и $%ONK$%. Коэффициент подобия здесь равен $%AM:NK=y:y=1$%, то есть треугольники равны. Из этого делаем нужный нам вывод, что $%OA=ON$%.