неравенства - Целая часть от d

Здесь можно предложить несколько способов рассуждения. Один из них таков: представим $%d\in\mathbb R$% в виде суммы целой и дробной части: $%d=k+\alpha$%, где $%k\in\mathbb Z$%; $%\alpha\in[0;1)$%. Тогда $%[6d]=[6k+6\alpha]=6k+[6\alpha]$%, и аналогично для остальных слагаемых. В обеих частях возникнет слагаемое $%7k$%, на которое можно сократить. Также ясно, что $%[\alpha]=0$%. Тем самым, всё сводится к проверке неравенства $%[6\alpha]\ge[3\alpha]+2[2\alpha]$% для действительных чисел $%\alpha$% из полуинтервала $%[0;1)$%. Если его разбить на 6 равных частей, то на промежутках $%[0;\frac16)$%, $%[\frac16;\frac26)$%, ... , $%[\frac56;1)$% значение целой части каждого из рассматриваемых чисел определяется однозначно. Например, при $%\alpha\in[\frac12;\frac23)$% (четвёртый промежуток из шести) получается верное (не)равенство $%3\ge1+2\cdot1$%. Для остальных промежутков всё проверяется так же просто.

Есть другой способ: взять число $%6d$%, рассмотреть его целую часть $%m$%, а потом поделить её на $%6$% с остатком, то есть представить в виде $%m=6q+r$%, где $%q$% целое, и $%0\le r\le5$%. Теперь $%6d=6q+r+\beta$%, где $%\beta\in[0;1)$%. Из такого представления все целые части легко выявляются: $%[6d]=6q+r$%, $%[3d]=3q+[\frac{r+\beta}2]=3q+[r/2]$%, $%[2d]=2q+[r/3]$%, $%d=q+[r/6]$%. Неравенство приобретает вид $%r+[r/6]\ge[r/2]+2[r/3]$%, и его проверка для каждого из шести значений $%r\in\{0;1;2;3;4;5\}$% не составляет труда.