Доказать неравенство Бернулли $$(1 + x_1)(1 + x_2) ... (1 + x_n) ≥ 1 + x_1 + x_2 + \cdots + x_n,$$ где $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$% - числа одного и того же знака, бóльшие $%-1$%.

задан 24 Сен '14 23:53

изменен 25 Сен '14 14:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это делается при помощи математической индукции. Для $%n=1$% имеет место равенство. Пусть к какому-то моменту установлено, что неравенство верно при $%n=k$%, то есть $%(1+x_1)\ldots(1+x_k)\ge1+x_1+\cdots+x_k$%. Надо доказать, что это будет верно и при $%n=k+1$%.

Рассмотрим произведение $%(1+x_1)\ldots(1+x_k)(1+x_{k+1})$%. По условию, последний сомножитель положителен. Поэтому можно домножить на него неравенство, истинность которого была установлена ранее. Тем самым окажется, что произведение не меньше, чем $%(1+x_1+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})$%. Раскроем в этом произведении скобки, получая сумму $%1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}$%, а также $%k$% слагаемых вида $%x_ix_{k+1}\ge0$%, так как все числа имеют одинаковый знак. Из сказанного следует неравенство $%(1+x_1)\ldots(1+x_k)(1+x_{k+1})\ge1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}$%, которое требовалось доказать.

Добавление. "Цепочка" неравенств такова: $%(1+x_1)\ldots(1+x_k)(1+x_{k+1})\ge(1+x_1+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})=$% $%=1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+x_1x_{k+1}+\cdots+x_kx_{k+1}\ge1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}$%.

ссылка

отвечен 25 Сен '14 0:09

изменен 25 Сен '14 2:41

То есть основное доказательство - это то, что слева k слагаемых вида x_i x_(k+1)>0, а справа только x_k x_(k+1)?

(25 Сен '14 1:01) Snaut
1

Основной момент в том, что после раскрытия скобок получаются те слагаемые, которые нам нужны (линейные), плюс $%x_1x_{k+1}+x_2x_{k+1}+\cdots+x_kx_{k+1}$%, где каждое слагаемое неотрицательно, но есть их можно не учитывать, беря соответствующее неравенство.

(25 Сен '14 1:12) falcao

Вы говорите о правой части? Ведь левой с увеличением числа раскрытых скобок растет количество x в произведении, то есть сначала это ...+x_1x_2+... +x_1x_2x_3+ и т.д.? Так ведь? И именно из-за этого левая часть больше?

(25 Сен '14 1:26) Snaut
1

@Tiki_6O: там всё происходит в ту сторону, в которую нужно. Ведь это нетрудно написать на бумаге и проверить. Если у Вас не получится (а я думаю, что должно легко получиться), то я напишу развёрнутую цепочку неравенств.

Надо иметь в виду, что скобки мы раскрываем не во всём произведении, а только в $%(1+x_1+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})$%: именно так написано в тексте. Если это делать со всем большим произведением, то при наличии отрицательных $%x_i$% получится слишком сложно.

(25 Сен '14 2:02) falcao

Ничего не выходит. Не могу пока увидеть рационализм действий...

(25 Сен '14 2:28) Snaut
1

@Tiki_6O: хорошо, давайте напишу в виде формул, как это обычно принято делать.

(25 Сен '14 2:37) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×220

задан
24 Сен '14 23:53

показан
1631 раз

обновлен
25 Сен '14 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru