|
Пусть $%x_0>x_1>x_2>...>x_n$% - положительные вещественные числа. Докажите неравенство $%x_0+(x_0/(x_0-x_1)^2)+(x_1/(x_1-x_2)^2)+...+(x_{n-1}/(x_{n-1}-x_n)^2)>=(x_1/(x_1-x_0)^2)+...+(x_n/(x_n-x_{n-1})^2)+x_n+2n$% задан 25 Сен '14 12:30 
Lackawanna |
|
Если $%a > 0$%, то сумма этой величины и обратной не меньше двух: $%a+\frac1a=(\sqrt{a}-\frac1{\sqrt{a}})^2+2\ge2$%. Неравенство, которое надо доказать, сразу упрощается до такого: $$x_0-x_n+\frac1{x_0-x_1}+\cdots+\frac1{x_{n-1}-x_n}\ge2n.$$ Ясно, что сумма знаменателей равна $%x_0-x_n$%. Поэтому у нас имеется сумма $%n$% слагаемых, каждое из которых имеет вид $%(x_{i-1}-x_i)+\frac1{x_{i-1}-x_i}$%, и потому не меньше двух. В сумме получается не меньше $%2n$%. отвечен 25 Сен '14 16:45 
falcao |