Нужно найти формулу, связывающих диаметр малой окружность (d) по известным D и H.
Рисунок загрузить все ещё не хватает рейтинга, но суть такая:
Окружность с радиусом D, некоторая хорда параллельная диаметру, находящаяся на расстоянии H от этого диаметра, этой хорды касаются 2 окружности, между которыми расположена еще одна окружность, все их центры лежат на самой главной окружности.
http://54.228.181.242/livefiles/822500/1411670725966/ris1.jpg

Заранее спасибо за интересные мысли по поводу решения.

задан 25 Сен '14 23:20

изменен 26 Сен '14 16:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Есть некоторое несоответствие между рисунком и описанием. Так, на рисунке только две крайние окружности касаются хорды, а средняя касается двух крайних. При этом центры всех трёх маленьких окружностей одного и того же диаметра лежат на главной окружности.

Если это всё так, то подсчитать должно быть несложно.

(26 Сен '14 0:08) falcao

Описание создавалось по рисунку, подправлю описание задачи, но все же через что пробовать решать задачу?

(26 Сен '14 0:20) alena8v

@alena8v: я уже посчитал на черновике, вскоре напишу, что получилось. Там в решении, кроме теоремы Пифагора, ничего больше не применяется.

(26 Сен '14 2:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Введём обозначения: пусть $%O$% -- центр главной окружности, $%R=D/2$% -- её радиус, $%r=d/2$% -- радиус малых окружностей, $%O_1$%, $%O_2$%, $%O_3$% -- их центры (слева направо).

Пусть $%l$% -- прямая, удалённая от диаметра главной окружности на расстояние $%H$%, а $%l\,'$% -- ось симметрии рисунка, то есть прямая $%OO_2$%. Обозначим через $%K$% и $%M$% перпендикулярные проекции на прямые $%l$% и $%l\,'$% соответственно, а $%L$% пусть будет точкой пересечения прямых $%l$% и $%l\,'$%. Из того, что малые окружности касаются своих "соседей" внешним образом, заключаем, что расстояние между их центрами равно сумме радиусов, то есть $%O_1O_2=2r$%.

Ясно, что $%OL=H$%, $%O_2L=R-H$%. Также понятно, что $%ML=O_1K=r$%, откуда $%O_2M=O_2L-ML=R-H-r$%. Следовательно, $%OM=H+r$%, так как в сумме с $%O_2M$% эта величина даёт $%OO_2=R$%. Понятно также, что $%OO_1=R$%.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $%O_1O_2M$% и $%O_1OM$%, имеющие общий катет. Применение к ним теоремы Пифагора даёт $%O_1O_2^2-O_2M^2=O_1M^2=O_1O^2-OM^2$%. Используя найденные выше равенства, мы приходим к уравнению $%4r^2-(R-H-r)^2=R^2-(H+r)^2$% (число посередине мы при этом не учитываем).

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получается $%4r^2+2rR=2R^2-2RH$%. Нам здесь известны все величины кроме $%r$%, и остаётся решить квадратное уравнение относительно $%r$%. Можно воспользоваться обычной формулой, но ещё проще дополнить левую часть до полного квадрата, прибавляя $%(\frac{R}2)^2$% к обеим частям равенства. Тогда уравнение принимает вид $%(2r+\frac{R}2)^2=\frac94R^2-2RH$%. Заметим, что $%H < R$%, откуда следует, что число в правой части положительно, и можно извлечь квадратный корень. Он должен быть взят только со знаком "плюс" ввиду заведомой положительности числа в левой части. Это даёт $%2r=\sqrt{\frac94R^2-2RH}-\frac{R}2$%, что является готовой формулой для диаметра малой окружности.

Выражая всё через $%D$% вместо $%R$%, получаем такую итоговую формулу: $$d=\frac{\sqrt{9D^2-16DH}-D}4.$$

Для примера: если $%D=100$% и $%H=36$%, то формула даёт $%d=20$%.

ссылка

отвечен 26 Сен '14 3:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×588
×216

задан
25 Сен '14 23:20

показан
462 раза

обновлен
26 Сен '14 3:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru