|
Нужно найти формулу, связывающих диаметр малой окружность (d) по известным D и H. Заранее спасибо за интересные мысли по поводу решения. задан 25 Сен '14 23:20 
alena8v |
|
Введём обозначения: пусть $%O$% -- центр главной окружности, $%R=D/2$% -- её радиус, $%r=d/2$% -- радиус малых окружностей, $%O_1$%, $%O_2$%, $%O_3$% -- их центры (слева направо). Пусть $%l$% -- прямая, удалённая от диаметра главной окружности на расстояние $%H$%, а $%l\,'$% -- ось симметрии рисунка, то есть прямая $%OO_2$%. Обозначим через $%K$% и $%M$% перпендикулярные проекции на прямые $%l$% и $%l\,'$% соответственно, а $%L$% пусть будет точкой пересечения прямых $%l$% и $%l\,'$%. Из того, что малые окружности касаются своих "соседей" внешним образом, заключаем, что расстояние между их центрами равно сумме радиусов, то есть $%O_1O_2=2r$%. Ясно, что $%OL=H$%, $%O_2L=R-H$%. Также понятно, что $%ML=O_1K=r$%, откуда $%O_2M=O_2L-ML=R-H-r$%. Следовательно, $%OM=H+r$%, так как в сумме с $%O_2M$% эта величина даёт $%OO_2=R$%. Понятно также, что $%OO_1=R$%. Рассмотрим прямоугольные треугольники $%O_1O_2M$% и $%O_1OM$%, имеющие общий катет. Применение к ним теоремы Пифагора даёт $%O_1O_2^2-O_2M^2=O_1M^2=O_1O^2-OM^2$%. Используя найденные выше равенства, мы приходим к уравнению $%4r^2-(R-H-r)^2=R^2-(H+r)^2$% (число посередине мы при этом не учитываем). После раскрытия скобок и приведения подобных членов получается $%4r^2+2rR=2R^2-2RH$%. Нам здесь известны все величины кроме $%r$%, и остаётся решить квадратное уравнение относительно $%r$%. Можно воспользоваться обычной формулой, но ещё проще дополнить левую часть до полного квадрата, прибавляя $%(\frac{R}2)^2$% к обеим частям равенства. Тогда уравнение принимает вид $%(2r+\frac{R}2)^2=\frac94R^2-2RH$%. Заметим, что $%H < R$%, откуда следует, что число в правой части положительно, и можно извлечь квадратный корень. Он должен быть взят только со знаком "плюс" ввиду заведомой положительности числа в левой части. Это даёт $%2r=\sqrt{\frac94R^2-2RH}-\frac{R}2$%, что является готовой формулой для диаметра малой окружности. Выражая всё через $%D$% вместо $%R$%, получаем такую итоговую формулу: $$d=\frac{\sqrt{9D^2-16DH}-D}4.$$ Для примера: если $%D=100$% и $%H=36$%, то формула даёт $%d=20$%. отвечен 26 Сен '14 3:16 
falcao |
Есть некоторое несоответствие между рисунком и описанием. Так, на рисунке только две крайние окружности касаются хорды, а средняя касается двух крайних. При этом центры всех трёх маленьких окружностей одного и того же диаметра лежат на главной окружности.
Если это всё так, то подсчитать должно быть несложно.
Описание создавалось по рисунку, подправлю описание задачи, но все же через что пробовать решать задачу?
@alena8v: я уже посчитал на черновике, вскоре напишу, что получилось. Там в решении, кроме теоремы Пифагора, ничего больше не применяется.