$% tg(3\pi/11)+4\sin(2\pi/11)=\sqrt{11}$%

(если это возможно, предложите, пожалуйста, способ, отличный от домножения равенства на $%\cos(3\pi/11)$%, последующего возведения в квадрат и дальнейших преобразований)

задан 25 Сен '14 23:28

изменен 25 Сен '14 23:38

falcao's gravatar image


261k33750

10|600 символов нужно символов осталось
2

Вопрос связан со свойствами гауссовых квадратичных сумм. Справедлив такой общий нетривиальный факт, который на форуме обсуждался здесь. Применительно к случаю $%p=11$% он означает следующее. Положим $%\omega=e^{2\pi/11}$% и рассмотрим ту сумму, которая описана по ссылке. Для её составления надо знать, какие из ненулевых остатков могут давать квадраты натуральных чисел при делении на 11. Это легко определить: возводя в квадрат числа от 1 до 5, мы получим остатки 1, 4, 9, 5, 3. Тогда при степенях $%\omega$% с этими показателями надо взять плюсы, а при остальных -- минусы. Получается такая гауссова сумма: $%y=\omega-\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5-\omega^6-\omega^7-\omega^8+\omega^9-\omega^{10}$%.

Первообразный корень степени $%n$% из единицы удовляетворяет уравнению $%x^n=1$%. При $%n > 1$% он также удовлетворяет уравнению $%f(x)=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}=0$%, поскольку он отличен от единицы. Теперь можно вручную проверить тот общий факт, который по ссылке был выведен из свойств символов Лежандра. А именно, то, что после возведения $%y$% в квадрат и применения равенства $%f(\omega)=1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{10}=0$%, получится число $%-11$% (в общем случае это $%(-1)^{(p-1)/2}p$% для простого $%p$%). Это выглядит несколько "мистически", если не вдумываться глубоко в причины явления, но факт состоит в том, что для данного конкретного значения $%p=11$% всё можно проверить вручную.

Из сказанного сразу следует, что $%y=\pm i\sqrt{11}$%. Уточнение знака в этом выражении -- проблема весьма сложная, и Гаусс этому посвятил несколько отдельных работ. Но в данном случае этого всего делать не нужно, так как из полученного равенства будет выведено то, что $%{\rm tg}\frac{3\pi}{11}+4\sin\frac{2\pi}{11}=\pm\sqrt{11}$%, и наличие знака "плюс" прямо будет следовать из положительности левой части.

Используя связь между тригонометрическими функциями и экспонентой, выразим тагненс и синус через $%\omega$%. Прежде всего, мы знаем, что $%2i\sin z=e^{iz}-e^{-iz}$%. Отсюда следует, что $%4i\sin\frac{2\pi}{11}=2(\omega-\omega^{10})$%. Теперь выразим тангенс. По определению, $%i{\rm tg\,}z=\frac{2i\sin z}{2\cos z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}=\frac{e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}$%. Следовательно, $%i{\rm tg}\frac{3\pi}{11}=\frac{\omega^3-1}{\omega^3+1}$%.

Здесь возникает одна довольно стандартная для алгебры многочленов проблема, как разделить многочлен на многочлен. Это частный случай того, что называется "избавлением от иррациональности в знаменателе". В данном случае надо найти такой многочлен $%g(x)$%, чтобы после его домножения на $%x^3+1$% получился многочлен, равный $%x^3-1$% по модулю многочлена $%x^{11}-1$%. В общем случае это делается либо при помощи алгоритма Евклида для многочленов, либо при помощи метода неопределённых коэффициентов. В данном же случае, с учётом относительно простого вида самих многочленов, можно немного "схитрить", представляя единицу в виде 33-й степени, вынося куб, и далее опираясь на то, что $%1-x^{30}$% делится на $%1-x^6$%, что в свою очередь делится на $%1+x^3$%. Выглядит это вычисление так: $$\frac{\omega^3-1}{\omega^3+1}=\frac{\omega^3-\omega^{33}}{\omega^3+1}=\omega^3\cdot\frac{(1-\omega^6)(1+\omega^6+\omega^{12}+\omega^{18}+\omega^{24})}{1+\omega^3},$$ то есть $%\omega^3(1-\omega^3)(1+\omega^6+\omega+\omega^{7}+\omega^{2})$%, и далее, раскрывая скобки "по-честному" и пользуясь тем, что $%\omega^{11}=1$%, мы получаем такое выражение: $%-\omega-\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5-\omega^6-\omega^7-\omega^8+\omega^9+\omega^{10}$%. Это не что иное, как выражение через $%\omega$% тагненса, умноженного на $%i$%. Прибавляя к нему синус, умноженный на $%4i$%, мы обнаруживаем, что $%i{\rm tg}\frac{3\pi}{11}+4i\sin\frac{2\pi}{11}$% в точности равно $%y$%, то есть $%\pm i\sqrt{11}$%. Осталось сократить на $%i$% и выбрать знак "плюс".

ссылка

отвечен 26 Сен '14 1:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,852
×947
×315

задан
25 Сен '14 23:28

показан
925 раз

обновлен
26 Сен '14 1:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru