Решить в целых числах уравнение $%x^y + y^x = 2000$%.

задан 26 Сен '14 10:23

изменен 26 Сен '14 16:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Метод локализации и перебора. Рассмотрим неотрицательные $%x,y$%. Если пара $%(x,y)$% есть решением, то и симметричная ей $%(y,x)$% тоже. Пусть $%x<=y$%. 1) Пусть $%x=1$%, тогда $%y=1999$%. Имеем два решения $%(1;1999); (1999;1)$%. 2) Пусть $%x=2$%, тогда $%2^y+y^2=2000$%, учтем первое слагаемое $%y<=10$%, т.к. $%2^{11}=2048$%. Кроме того, $%x,y$% одинаковой четности. Целочисленных решений нет. 3) Пусть $%x=3$%, тогда $%3^y+y^3=2000$%, имеем $%y$% нечетный и $%y<7$%. Целочисленных решений нет. 4) $%x=4$%, тогда $%4^y+y^4=2000$%, имеем $%y$% четный и $%y<6$%. Целочисленных решений нет. 5) $%x=5$%, тогда $%5^y+y^5=2000$%, имеем $%y<5$%, учитывая, что $%x<=y$%,решений нет. Осталось рассмотреть случай, когда одна (обе) переменные неположительны. Получаем либо число 1 либо дроби, но не 2000. А потому ответ $%(1;1999); (1999;1)$%.

ссылка

отвечен 26 Сен '14 13:30

изменен 26 Сен '14 20:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,715
×787
×119

задан
26 Сен '14 10:23

показан
621 раз

обновлен
26 Сен '14 20:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru