|
Как вычислить такой вот предел $%\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{({{\log }_2}n)}^{{{\log }_2}n + 1}}}}{n}$%? В общем, решил вычислить данный предел таким методом: Положим, $%n = {2^x},\,\,\,n \to \infty ,\,\,\,x \to \infty $%, тогда предел примет вид: $%\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{x^{x + 1}}}}{{{2^x}}} = \frac{{\underbrace {x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \cdot x}_{x + 1}}}{{\underbrace {2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 2}_x}}$%. Так как $%x > 2,\,\,\,x \to \infty $% и $%x + 1 > x$%, можно сделать вывод, что числитель будет доминировать над знаменателем, следовательно, предел равен бесконечности. Корректно ли так полагать? задан 27 Сен '14 3:51 
night-raven |
|
Я так понимаю, он бесконечности равен, причём это сразу видно. Представим $%n$% в знаменателе как $%2^{\log_2n}$%. Тогда у нас имеется произведение $%\log_2n\cdot(\frac{\log_2n}2)^{\log_2n}$%. Ясно, что такая последовательность даже без учёта первого сомножителя довольно быстро стремится к бесконечности. отвечен 27 Сен '14 4:40 
falcao |
Разумеется, здесь всё корректно: уже $%x/2$% стремится к бесконечности, а $%(x/2)^x$% тем более. Правда, записывать степени в развёрнутом виде нет необходимости. Можно вообще сказать, что при $%x\ge2$% значение функции получается не меньше $%x$%, а эта величина принимает сколь угодно большие значения.