Как вычислить такой вот предел $%\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{({{\log }_2}n)}^{{{\log }_2}n + 1}}}}{n}$%?

В общем, решил вычислить данный предел таким методом:

Положим, $%n = {2^x},\,\,\,n \to \infty ,\,\,\,x \to \infty $%, тогда предел примет вид: $%\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{x^{x + 1}}}}{{{2^x}}} = \frac{{\underbrace {x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \cdot x}_{x + 1}}}{{\underbrace {2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 2}_x}}$%. Так как $%x > 2,\,\,\,x \to \infty $% и $%x + 1 > x$%, можно сделать вывод, что числитель будет доминировать над знаменателем, следовательно, предел равен бесконечности.

Корректно ли так полагать?

задан 27 Сен '14 3:51

изменен 28 Сен '14 10:39

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Разумеется, здесь всё корректно: уже $%x/2$% стремится к бесконечности, а $%(x/2)^x$% тем более. Правда, записывать степени в развёрнутом виде нет необходимости. Можно вообще сказать, что при $%x\ge2$% значение функции получается не меньше $%x$%, а эта величина принимает сколь угодно большие значения.

(27 Сен '14 14:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, он бесконечности равен, причём это сразу видно. Представим $%n$% в знаменателе как $%2^{\log_2n}$%. Тогда у нас имеется произведение $%\log_2n\cdot(\frac{\log_2n}2)^{\log_2n}$%. Ясно, что такая последовательность даже без учёта первого сомножителя довольно быстро стремится к бесконечности.

ссылка

отвечен 27 Сен '14 4:40

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,792
×769

задан
27 Сен '14 3:51

показан
457 раз

обновлен
27 Сен '14 14:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru