Доказать, что для любого $%\alpha > 0$% существует такой $%x_0 > 0$%, что при любых $%x> x_0: \ln x / x < 10^{-9}$%.

задан 27 Сен '14 9:20

изменен 27 Сен '14 21:53

Здесь в условии присутствует как произвольное $%\alpha$%, так и конкретное $%\alpha=10^{-9}$%. Что именно надо сделать? Доказать, что $%\ln x/x\to0$% при $%x\to\infty$%, что является достаточно стандартной вещью, или подобрать какое-то конкретное $%x_0$%, для которого заведомо выполняется последнее неравенство?

(27 Сен '14 13:29) falcao

Наверное, нужно найти такой предел.

(27 Сен '14 21:53) student

Только тут не для $%lnx /x$%, а для $%ln x /x^{\alpha}$%.

(27 Сен '14 23:28) student

Это не принципиально: я только что дал доказательство более общего факта.

(27 Сен '14 23:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если сделать замену вида $%y=\ln x$%, то получится предел функции $%y/e^y$% при $%y\to\infty$%. Надо доказать, что он равен нулю. Это верно для более общего случая, если $%e$% заменить на любое фиксированное число $%a > 1$%. Например, на $%a=1,0000001$%. Тогда получится более сильный факт: экспонента (с показателем, большим единицы) растёт быстрее линейной.

Вывести это достаточно легко из следующих соображений: пусть $%a=1+\alpha$%, где $%\alpha > 0$%. Возведём это число в $%n$%-ю степень и возьмём первые три члена в разложении бинома. Это даст неравенство $%a^n=(1+\alpha)^n > 1+n\alpha+\frac{n(n-1)}2\alpha^2$% при $%n > 2$%. Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $%ya^{-y} < \varepsilon$% при всех достаточно больших $%y$%. Если $%[y]=n$%, то $%a^y\ge a^n > \frac{n(n-1)}2\alpha^2 > \frac{n+1}{\varepsilon} > \frac{y}{\varepsilon}$% для всех достаточно больших натуральных $%n$%. Основным здесь является предпоследнее неравенство, где сравниваются квадратичная и линейная функции. Значит, это же верно для всех достаточно больших значений $%y$%.

ссылка

отвечен 27 Сен '14 23:32

@falcao, я не совсем понимаю, что из этого следует.

(27 Сен '14 23:57) student

Отсюда следует, что $%\lim_{y\to\infty}y/a^y=0$%, на основании определения с "эпсилон". В Ваших обозначениях, $%a=e^{\alpha} > 1$%. При этом в моём тексте надо вместо $%\alpha$% взять какое-то другое обозначение -- скажем, $%a=1+\beta$%. Ситуация, когда $%\varepsilon=10^{-9}$%, представляет собой частный случай.

(28 Сен '14 0:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×241

задан
27 Сен '14 9:20

показан
485 раз

обновлен
28 Сен '14 0:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru