логарифмы - Доказать, что всегда найдется число

Если сделать замену вида $%y=\ln x$%, то получится предел функции $%y/e^y$% при $%y\to\infty$%. Надо доказать, что он равен нулю. Это верно для более общего случая, если $%e$% заменить на любое фиксированное число $%a > 1$%. Например, на $%a=1,0000001$%. Тогда получится более сильный факт: экспонента (с показателем, большим единицы) растёт быстрее линейной.

Вывести это достаточно легко из следующих соображений: пусть $%a=1+\alpha$%, где $%\alpha > 0$%. Возведём это число в $%n$%-ю степень и возьмём первые три члена в разложении бинома. Это даст неравенство $%a^n=(1+\alpha)^n > 1+n\alpha+\frac{n(n-1)}2\alpha^2$% при $%n > 2$%. Мы хотим, чтобы выполнялось неравенство $%ya^{-y} < \varepsilon$% при всех достаточно больших $%y$%. Если $%[y]=n$%, то $%a^y\ge a^n > \frac{n(n-1)}2\alpha^2 > \frac{n+1}{\varepsilon} > \frac{y}{\varepsilon}$% для всех достаточно больших натуральных $%n$%. Основным здесь является предпоследнее неравенство, где сравниваются квадратичная и линейная функции. Значит, это же верно для всех достаточно больших значений $%y$%.